22.3    Per il primo punto si osservi che se $Q \in P_1 \vee \ldots \vee P_d $ allora $\overrightarrow{P_1 Q}\;\in\mathsf{giac}( P_1 \vee \ldots \vee P_d)=<\overrightarrow{P_1P_2}, \ldots, \overrightarrow{P_1 P_d} >$ e quindi i vettori $\overrightarrow{P_1P_2}, \ldots, \overrightarrow{P_1 P_d},\overrightarrow{P_1 Q}$ sono linearmente dipendenti per cui i punti $ P_1, \ldots, P_d , Q$ sono dipendenti.
Viceversa se $Q \not\in P_1 \vee \ldots \vee P_d $ allora $\overrightarrow{P_1 Q}\;\not\in\mathsf{giac}( P_1 \vee \ldots \vee P_d)=<\overrightarrow{P_1P_2}, \ldots, \overrightarrow{P_1 P_d} >$ e quindi, da argomentazioni di algebra lineare, segue che i vettori $\overrightarrow{P_1P_2}, \ldots, \overrightarrow{P_1 P_d},\overrightarrow{P_1 Q}$ sono linearmente indipendenti per cui i punti $ P_1, \ldots, P_d , Q$ sono indipendenti.

Per il secondo punto si imiti la dimostrazione di esercizio 22.1 sfruttando il risultato di algebra lineare in cui si afferma che, se $1 \leq t \leq t' \leq n,\;\;t,t'\in \mathbf{N}$ ed è assegnato un insieme di $t$ vettori linearmente indipendenti di $\mathbf{V}$, allora è possibile trovare un secondo insieme di $t'$ vettori linearmente indipendenti di $\mathbf{V}$ contenente il primo.

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