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Prova Scritta - Algebra e Geometria

08-07-2002 - A.A. 2001-2002 - Prof. A. Gimigliano

Siano P1, P2, P3 in R3 i punti:

P1 = (a, b, k); P2 = (a+1, b, k); P3 = (b, a, 0)

1) Determinare, al variare di k, se P1, P2, e P3 , se e siano allineati o no.

2) Dire se le rette P1P2 e P2P3 siano parallele, sghembe, incidenti o coincidenti.

3) Fissare un valore di k, diverso da zero, e determinare, per quel valore di k, un piano che contenga P1, P2, P3.

Assegnare ad a, b il valore delle ultime cifre del proprio numero di matricola (ad esempio, se il numero è 1224567, allora a = 6, b = 7)

Soluzione

1) Calcoliamo le equazioni parametriche della retta r passante per P1 e per P2:

vr = P1 P2= (x2 - x1, y 2 - y1, z2 - z1) = (a + 1 - a, b - b, k - k) = (1, 0, 0)

  x= a + t
le parametriche sono: r : y= b
  z= k

Determiniamo se e per quali valori di k anche P3 appartiene alla retta r , pertanto sostituiamo le coordinate di P3 nell'equazione della retta r.

  b= a + t  
P3 r a= b  
  0= k  

I tre punti non sono mai allineati.

2)Calcolo anche le equazioni della retta s passante per P2 e per P3:

vs = P2 P3= (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2) = (b - a - 1, a - b, - k)

  x= b + (b - a - 1)s
le parametriche sono: s : y= a + (a - b)s
  z= - kt

I vettori che danno la direzione di r e s sono rispettivamente:

vr = (1, 0, 0) vs = (b - a - 1, a - b, -k)

   
1
0
0
    
r e s sono parallele se e solo se: rg       = 1  
   
b - a - 1
a - b
- k
    

ovvero se e solo se la seconda riga risulta un multiplo della prima, per la qual cosa basta che siano: a - b = 0 ; k = 0

Quindi se a e b non sono uguali, le rette non saranno mai parallele.

Se invece si ha a = b, allora le rette saranno parallele se e solo se k = 0.

Vediamo per quali valori di k possono essere sghembe o incidenti, consideriamo allora il sistema formato dalle tre equazioni delle rette r ed s:

  x = a + t = b + (b - a - 1)s
  y = b = a + (a - b)s
  z = k = - kt

E' un sistema a 3 equazioni e 2 incognite, consideriamo la matrice incompleta e completa dei coefficenti:

 
1
1 + a - b
 
1
1 + a - b
a - b
A =
0
b - a
(A/B) =
0
b - a
b - a
 
0
k
  
0
k
k

Supponiamo che a e b siano diversi; allora abbiamo visto che la matrice A ha rango 2 (vedi considerazioni precedenti), quindi affinchè r e s siano incidenti anche rg(A/B) deve essere 2.

  
1
1 + a - b
a - b
= 0
rg(A/B) = 2
det
0
b - a
b - a
 
0
k
k

k(b - a) - k(b - a) = 0 Per qualsiasi valore di k le rette sono incidenti. E quindi non sono mai sghembe.

Se invece a = b, allora per k non nullo la discussione è analoga alla precedente, mentre per k = 0 si ha che rg(A/B) = rg(A) = 1, e le due rette sono coincidenti.

3) Scegliamo k=1 e scriviamo l'equazione del piano passante per tre punti

  x - x1 y - y1 z - z1    
det x2- x1 y2- y1 z2- z1 = 0
 
  x3- x1 y3- y1 z3- z1    
 

 
x - a
y - b
z - 1
   
det
1
0
0
 = 0
(z - 1)(a - b) + (y - b)=0
 
b - a
a - b
-1
    

Il piano cercato ha equazione:

(a - b)z + y - a = 0 .

 
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