Prova Scritta - Algebra e Geometria

25-03-2002 - A.A. 2002-2003 - Prof. A. Gimigliano

Siano r, s due rette in R³:

r:		x = t - 2	s:		x - y + 2b - a = 0
		y = kt + 2a			2ky - z - 4kb - 1 = 0
		z = 2t - 1

1) Determinare, al variare di k, se r ed s siano parallele, sghembe o incidenti.

2) Per k = 1 trovare (se esiste) un piano π passante per l'origine e perpendicolare sia ad r che ad s.

Assegnare ad a, b il valore delle ultime cifre del proprio numero di matricola (ad esempio, se il numero è 1224567, allora a = 6, b = 7)

Soluzione

1) Calcoliamo le equazioni parametriche della retta s:

s:		x= y + a - 2b			x= s + a - 2b
		z= 2ky- 4kb - 1	le parametriche sono:		y= s
					z= 2ks - 4kb - 1

I vettori che danno la direzione di r e s sono rispettivamente:

			1	k	2
r e s sono parallele se e solo se:	rg						= 1
			1	1	2k

ovvero se e solo se tutti i determinanti dei minori di ordine due, ottenuti orlando 1, siano nulli:

det		1	k		= 0		1- k = 0		k= 1
		1	1

det		1	2		= 0		2k - 2 = 0		k= 1
		1	2k

Quindi per k uguale ad 1, r e s sono parallele.

Vediamo per quali valori di k possono essere sghembe o incidenti, consideriamo allora il sistema formato dalle tre equazioni delle rette r ed s:

		x = t - 2 = s + a - 2b
		y = kt + 2a = s
		z = 2t - 1 = 2ks - 4kb - 1

E' un sistema a 3 equazioni e 2 incognite, consideriamo la matrice completa dei coefficenti:

		1	-1				1	-1	-2 - a + 2b
A =		k	-1		(A/B) =		k	-1	2a
		2	-2k				2	-2k	-1+ 4kb +1

Per k = 1 la matrice ha rango 2 (vedi considerazioni precedenti), quindi affinchè r e s siano incidenti anche rg(A/B) deve essere 2.

				1	-1	-2 - a + 2b		= 0		riduco la matrice (A/B) e ottengo:
rg(A/B) = 2		det		k	-1	2a
				2	-2k	4kb

 

(A/B)=

R1

1

-1

-2 - a + 2b

1

-1

-2 - a + 2b

=

R2

k

-1

2a

R2R2 - R1

k-1

0

3a - 2b + 2

R3

2

-2k

4kb

2

-2k

4kb

 

		1	-1	-2 - a + 2b
R3R3 - 2R1		k-1	0	3a - 2b + 2
		0	-2k + 2	4kb - 4b + 4 + 2a

adesso calcolo il determinante della matrice ridotta:

		1	-1	-2 - a + 2b		= 0
det		k-1	0	3a - 2b + 2
		0	-2k + 2	4kb - 4b + 4 + 2a

-2(k-1)²(2b-2-a)+(k-1)(4kb-4b+4+2a)+2(k-1)(3a- 2b + 2) = 0, k≠ 1 e quindi posso dividere per 2(k-1)

e ottengo:

(1-k)(2b-2-a)+(2kb-2b+2+a)+(3a - 2b + 2) = 0 2b-2-a-2kb+2k+ak+2kb-2b+2+a+3a-2b+2 = 0

semplificando ottengo:

2k+ak-2b+2+3a = 0 (2+a)k = 2b-2-3a k = (2b-2-3a)/(2+a)

Riassumendo avremo che:

per k = 1		r e s sono parallele
per k = (2b-2-3a)/(2+a)		r e s sono incidenti
per k ≠ (2b-2-3a)/(2+a), 1		r e s sono sghembe

Soluzione

2) Considero l'equazione di un generico piano pasante per l'origine:

π : Ax + By + Cz = 0;

il vettore v' = (A, B, C) è perpendicolare al piano π.

Nel caso k = 1 le rette sono parallele quindi se il piano è perpendicolare ad r lo sarà necessariamente anche ad s. Scegliamo allora come vettore v' proprio il vettore direttore delle rette r e s e avremo:

π : x + y +2z = 0 .

	torna all'Compito 4