di V03 si scrive in modo unico, nella forma: Introduzione>>Premesse
Fissiamo arbitrariamente nello spazio tridimensionale della geometria euclidea un punto O e consideriamo l'insieme di tutti i vettori dello spazio applicati in O. Tale insieme lo chiameremo V03.
In V03 si possono introdurre le operazioni di addizione, moltiplicazione e moltiplicazione per scalare e verificare che valgono tutte le rispettive proprietà. V03 con questa struttura algebrica è uno spazio vettoriale .
Mostriamo, ora, come V03 con le operazioni di addizione, moltiplicazione e moltiplicazione per scalare, possa essere identificato con lo spazio R3 dotato anch'esso delle stesse operazioni.
Introduciamo allora, un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, ciò equivale a fissare in V03 tre vettori ortogonali (i,j,k) di modulo 1 e si dice allora che {i,j,k} formano una base ortonormale di V03.
Ne segue che ogni vettore di V03 si scrive in modo unico, nella forma:
= xi+ yj + zk
dove x, y, z appartengono ad R e prendono il nome di coordinate del vettore OP rispetto alla base {i,j,k} di V03. Resta così definita un'applicazione j: V03 
R3 nel modo seguente:
" = xi + yj + zk  V03 |
j( ) = (x, y, z) |
Vale inoltre il seguente risultato fondamentale:
| L'applicazione | j: V03 R3 |
sopra definita gode delle seguenti proprietà: |
a) j è biettiva |
b) j( +  ) = j() + j() |
" , V03 |
| c) j(l) = l j() |
" V03 |
" l R. |
L' applicazione j permette di identificare V03 e R3 con le rispettive strutture.
Queste stesse considerazioni possono essere fatte in maniera del tutto analoga considerando sia V02 e R2 che V01 e R1.
