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Esercizio 5

Si considerino nello spazio le rette r, s, r', s' rispettivamente di equazioni :

r: x + 2z + 9 = 0 s: x - 2y + 1 = 0
y + z - 2 = 0 x + y + z = 0
 

r': x + 2z + 1= 0 s': x - z - 2 = 0
y - z - 3 = 0 x + y - 2 = 0

a) Trovare l'equazione parametrica della retta r1 che passa per P = (-1, 2, 3) ed è parallela al piano π di equazione : 3x - 2y + 7z +1 = 0 ed è incidente ad r.

b) Trovare le equazioni cartesiane della retta r2 parallela ad s e incidente sia r' che s'.

Soluzione a)

Calcoliamo i vettori direttori vr , vs rispettivamente della retta r e della retta s :

vr = (3, 1, -2) , mentre per la retta s abbiamo che vs = (ls, ms, ns)
 

ls = det
-2
-1
= -1; ms= - det
1
-1
= -2; ns= det
1
-2
=3  
1
1
1
1
1
1

e otteniamo: vs = (-1, -2, 3)

I vettori vr , vs non sono proporzionali, quindi r e s non sono parallele.

Verifichiamo se sono incidenti risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette r, s:

-1 + 3t - 4 -2t + 2t = 0   3t = 5 Il sistema è incompatibile!
-1 + 3t +2 + t -2 + t = 0   2t = 5

Le rette r ed s non sono parallele e non sono incidenti, quindi sono sghembe.

Soluzione b)

La retta r' si deteremina come l'intersezione di due piani π1 e π2 tali che:

1) π1contiene r e passa per P

2) π2 contiene s e passa per P

1) Ricaviamo le equazioni cartesiane della retta r :

x = -1 + 3t  
y = 2 + t
e ora ci ricaviamo il parametro t e scriviamo le cartesiane
z = - 2t  

x = -1 + 3y - 6 x = 3y - 7 x - 3y + 7 = 0
t = y - 2 z = -2y + 4 z + 2y - 4 = 0
z = -2y + 4        

Consideriamo il fascio di rette che ha come asse la retta r: l (x - 3y + 7) + m (z + 2y - 4) = 0 e imponiamo il passaggio per il punto P = (3, 2, 1) :

l (3- 6 + 7) + m (1 + 4 - 4) = 0 4l + m = 0

Scegliamo per esempio l = 1 e m = -4 e otteniamo l'equazione del piano:

x - 3y + 7 - 4z - 8y + 16 = 0 x - 11 y - 4z + 23 = 0

Quindi π1: x - 11 y - 4z + 23 = 0 e il piano che contiene r e passa per P.

Con lo stesso ragionamento possiamo trovare π2:

il fascio proprio di piani contenente s è l (x - 2y - z ) + m (x + y + z - 6) = 0, vogliamo che passi per P, ovvero che P soddisfi l'equazione del fascio; quindi:

l (3 - 4 - 1 ) + m (3 + 2 + 1 - 6) = 0 - 2l = 0 l = 0 e per m possiamo scegliere un valore qualsiasi, per esempio m = 1. Sostituendo i valori trovati di l e m otteniamo l'equazione di π2:

π2: x + y + z - 6 = 0.

La retta r' data dall'intersezione di π1 e π2 avrà le seguenti equazioni cartesiane:

x - 11 y - 4z + 23 = 0
x + y + z - 6 = 0

Soluzione c)

Per calcolare l'equazione cartesiana del piano π parallelo a r ed s passante per Q utilizziamo la proposizione 3.5 e ooteniamo:

 
x - 2
y - 2
z - 4
   
det
3
1
-2
= 0 ,   calcoliamo il determinante:
 
-1
-2
3
   

3x - 6 - 6z + 24 + 2y - 4 - z - 4 - 9y + 18 - 4x + 8= 0 x - 7y - 5z + 36 = 0;

π: x - 7y - 5z + 36 = 0

 

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