Dimostrazione

Cerchiamo di trasformare l'equazione (forma generale) in una della forma $Y=aX^2$ mediante una traslazione

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{c} x=X+h\\ y=Y+k \end{array} \right. \end{displaymath}
Sostituendo nell'equazione (forma generale) otteniamo
\begin{displaymath} Y+k=a(X+h)^{2}+b(X+h)+c \end{displaymath}
cioè
\begin{displaymath} Y=aX^2+X(2ah+b)+(ah^2+bh+c-k). \end{displaymath}
 
Imponiamo adesso che
\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{c} 2ah+b=0\\ ah^2+bh+c-k=0 \end{array} \right. \end{displaymath}

da cui
\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{c} h=-\displaystyle\frac{b}{2a}\\ \vspace{1mm}\\ k=ah^2+bh+c \end{array} \right. \end{displaymath}

quindi
\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle x=X-\frac{b}{2a... ... \displaystyle y=Y+\frac{4ac-b^2}{4a} \end{array} \right. \end{displaymath} (3)

Riassumendo l'equazione $y=ax^2+bx+c$ si riduce alla forma canonica $Y=aX^2$, $\displaystyle a= \frac{1}{2p}$, mediante la traslazione (traslazione). Cosa importante è che, sempre per (traslazione), ricordando che $\displaystyle\frac{p}{2}=\frac{1}{4a}$