Definizione 1   

Sia $\mathcal C$ una curva di $\mathbf P^2(\mathbf R)$. Una curva $\mathcal D$ si dice proiettivamente equivalente a $\mathcal C$ se esiste una proiettivitą T tale che $\mathcal C=T(\mathcal D)$.

In base alla definizione precedente abbiamo che la conica $\mathcal D$ con equazione $\textbf x^t\mathrm B\textbf x=0$ č proiettivamente equivalente alla conica $\mathcal C$ di equazione $^t\textbf x\mathrm A\textbf x=0$.
Ogni conica proiettivamente equivalente a $\mathcal C$ si ottiene tramite una qualsiasi matrice $\mathrm M$ invertibile a coefficienti reali. Da $\mathrm B=\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M$ si deduce che $\mathrm A$ e $\mathrm B$ sono matrici congruenti. Inoltre $\mathrm A$ e $\mathrm B$ hanno lo stesso rango, perchč $\mathrm M$ č invertibile e, per il teorema di Binet, $det(\mathrm B)=det(\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M)=det(\mathrm M^t)det(\mathrm A)det(\mathrm M)$, allora
\begin{displaymath} det(\mathrm A)=0 \Longleftrightarrow det(\mathrm B)=0. \end{displaymath}
 
Il rango di $\mathrm A$ quindi č una proprietą proiettiva della conica $\mathcal C$, e si scrive $r(\mathcal C)$. In particolare l'annullarsi o meno di $det(\mathrm A)=0$ č una proprietą proiettiva di $\mathcal C$. Per definizione almeno uno dei coefficienti ($a_{ij}$) č diverso da zero, questo ci dice che il rango di $\mathcal C$ non č mai nullo e vale:
\begin{displaymath} 1\leq r(\mathcal C)\leq 3. \end{displaymath}
 
 
 
Definizione 2   

La conica $\mathcal C$ č:


Generalitą Teorema 3