Classificazione delle coniche proiettive

Sia $\mathrm P^2(\mathbf R)$ il piano proiettivo su $\mathbf R$ .
Ricordiamo che i punti e le rette di $\mathrm P^2$ sono gli stessi di quelli di $\mathrm A^2_{\infty}$ , dove $\mathrm A^2_{\infty}$ rappresenta $\mathrm A^2$ completato con l'aggiunta della retta impropria (completamento proiettivo del piano affine). L'equazione di una conica $\mathcal C$ del piano $\mathrm A^2$ in coordinate omogenee si può quindi scrivere nel modo seguente:

$\begin{displaymath} a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2+2a_{01}x_0x_1+2a_{02}x_0x_2+a_{33}x_0^2=0, \end{displaymath}$

(1)

con gli $a_{ij}\in \mathbf R$ non tutti nulli. La conica scritta in coordinate omogenee come in (

) rappresenta una conica in $\mathrm P^2$ . La matrice

$\begin{displaymath} \mathrm A=\left( \begin{array}{ccc} a_{00} & a_{01} & a_{... ...} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \end{displaymath}$

è una matrice simmetrica ottenuta ponendo $a_{21}=a_{12}$ , $a_{13}=a_{31}$ , $a_{23}=a_{32}$ . Tale matrice ci permette di rappresentare la conica () mediante l'equazione

$\begin{displaymath} \textbf{x}^t\mathrm A\textbf{x}=0, \end{displaymath}$

(2)

dove x= $\left( \begin{array}{c} x_0\\ x_1\\ x_2 \end{array} \right)$ è il vettore delle indeterminate. Sia ora $\mathrm M$ una matrice $(3\times3)$ a coefficienti in $\mathbf R$ , invertibile. Se prendiamo il vettore $\mathrm M\textbf{x}$ e lo sostituiamo ad x nella (

), oppure nella (

) otteniamo una nuova equazione e cioè:

$\begin{displaymath} \textbf x^t\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M\textbf x=0, \end{displaymath}$

da cui

$\begin{displaymath} \textbf x^t\mathrm B\textbf x=0, \end{displaymath}$

(3)

dove $\mathrm B=\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M$ .