Consideriamo ora l'applicazione affine
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{c}
x'=m_{11}x+m_{12}y+\alpha \\
y'=m_{21}x+m_{22}y+\beta
\end{array}
\right.
\end{displaymath} (4)

che in forma matriciale si scrive

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
x'\\ y'\\ 1
\end{array}
\right)...
...ht)\left(
\begin{array}{c}
x\\ y\\ 1
\end{array}
\right),
\end{displaymath} (5)
 
dove $\mathrm M=\left(
\begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12}\\
m_{21} & m_{22}
\end{array}
\right)$ una matrice a coefficienti reali, invertibile; $\alpha,\beta\in \mathbf R$.
La trasformazione inversa :
\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
x\\ y\\ 1
\end{array}
\right)= ...
...)\left(
\begin{array}{c}
x'\\ y'\\ 1
\end{array}
\right),
\end{displaymath} (6)

dove $\mathrm P=\mathrm M^{-1}$.

Ora, tenuto conto che

\begin{displaymath}\left(
\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
\end{array}
\righ...
...$}
&$\delta$ \\
0\quad\,0&1 \\
\end{tabular}
\right)^t,\end{displaymath}

(la lettera in alto a destra sulla matrice una t e sta ad indicare la trasposta della matrice in questione

sostituendo (Trasformazione inversa) in (Conica in forma matriciale), otteniamo:

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\righ...
...left(
\begin{array}{c}
x'\\ y'\\ 1
\end{array}
\right)=0.
\end{displaymath}    (7)


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