ove è una matrice quadrata di ordine n,

sistemi cioè composti da n equazioni in n incognite.

Supponiamo inoltre che  det 0.

Allora

e il teorema di Rouchè-Capelli ci assicura che esiste ed è unica la soluzione.

L'ipotesi sul determinante implica l'esistenza della matrice inversa .

Dunque avremo:

.

Sviluppando il prodotto

otteniamo una formula, detta regola di Cramer, per scrivere direttamente la soluzione del sistema.

I valori delle incognite   x_j ,  j = 1,...,n , sono dati da:

ove la matrice   è la matrice ottenuta sostituendo in la colonna dei termini noti al posto della colonna j-esima: