Per quanto riguarda le successioni
per le quali si è stabilito che esse hanno limite (finito o
infinito), ci si
aspetta, in base all’intuizione, che tale limite sia unico.
Dunque, è
plausibile che una successione,
se converge, converga ad un solo
limite e non a più valori
reali e che non possa simultaneamente divergere. Allo stesso
modo, ci si aspetta che una successione divergente non possa anche
essere
convergente e che non possa divergere sia a +∞
che a -∞. Si dimostra ora come
questa intuizione è, in effetti, giusta (non è,
però, scontata: in ambiti più
ampi di quelli in cui si colloca l’analisi elementare può
accadere che una
successione converga a più limiti).
TEOREMA
(3.1)
di
unicità del limite
Sia 
una
successione di
numeri reali.
1) Se 
converge
ad un numero reale l , allora tale limite
è unico. Inoltre, (an) non
può essere anche
una successione divergente.
2) Se diverge
a +∞, allora la
successione non può divergere a -∞ e non
può convergere.
3) Se diverge
a -∞, allora la
successione non può divergere a +∞ e non
può convergere.
Dimostrazione
1) Supponiamo
che 
e che 
. Dobbiamo provare che l = m . Per definizione di
limite, si ha simultaneamente:
, 
: 
, 
, 
: 
, 
Ora
per la disuguaglianza triangolare:
, 
Quindi,
in definitiva, si è ottenuto:
, 
Ciò accade ovviamente solo quando 
, come si voleva.
Se una successione converge,
allora:
, : ,
Supponiamo per assurdo
che diverga
positivamente.
Dunque:
, 
: 
, 
Ciò implica che:
, : 
,
Preso 
, si ha allora:
e .
Poiché ciò si può fare per qualunque coppia 
si possono
prendere in
modo tale che 
. In tal caso le due disuguaglianze sono
incompatibili e così
si ha l’assurdo.
Supponiamo, invece, per
assurdo
che diverga
negativamente,
cioè:
, : 
,
Allora:
, : 
,
Procedendo come prima, preso , si ha:
e
Poiché ciò
si può fare per
qualunque coppia si possono
prendere in
modo tale che 
. Si ha così l’assurdo.
2) Se
una successione diverge positivamente, è evidente che non
può divergere
negativamente. Ciò si ricava direttamente confrontando le due
definizioni di
divergenza:
, : ,
, : ,
Mostriamo ora che una successione divergente a +∞
non può convergere.
Se diverge
a +∞, allora:
, : ,
Se , per assurdo, convergesse:
, : ,
Con lo stesso ragionamento della seconda parte del punto 1) della dimostrazione si ricava che le due condizioni sarebbero incompatibili.
3) Allo
stesso modo del punto precedente, si prova che una successione
divergente
negativamente non può divergere positivamente.
Riprendendo la terza parte del punto 1) si dimostra, poi, che una
successione
divergente a -∞ non può
convergere.
Vediamo ora un concetto
correlato, almeno a livello intuitivo, con l’unicità del
limite. Ci si aspetta
che, se una successione ha limite, ogni sua sottosuccessione abbia il
suo
stesso limite, finito o infinito. Infatti, se una successione
può avere un solo
limite, allora è ragionevole che qualunque successione che
abbia, in sostanza,
le stesse proprietà (cioè una sottosuccessione) converga
o diverga allo stesso
limite.
TEOREMA
(3.2) Sia una
successione di
numeri reali.
1) Se converge
ad un limite reale l , allora ogni sua
sottosuccessione converge allo stesso
limite l.
2) Se diverge
a +∞, allora ogni sua
sottosuccessione diverge a +∞.
3) Se diverge
a -∞, allora ogni sua
sottosuccessione diverge a -∞.
Dimostrazione
1) Supponiamo
che converga a l,
cioè:
, : ,
Sia 
una
sottosuccessione
di .
Dalla definizione di sottosuccessione segue che 
, 
.
Allora, se 
, 
e in
definitiva:
, : 
,
Dunque, anche la sottosuccessione converge a l.
2) Supponiamo
che diverga a +∞,
cioè:
, : ,
Sia una
sottosuccessione
di .
Poiché , , come nel punto 1) si ottiene che:
, : 
,
Così anche la sottosuccessione diverge a +∞.
3) Supponiamo
che diverga a -∞,
cioè:
, : ,
Sia una
sottosuccessione
di .
Poiché , , come nei punti 1) e 2) si ottiene che:
, : 
,
Così anche la sottosuccessione diverge a -∞.
Come vedremo negli esempi
seguenti, di questo teorema spesso si sfrutta la sua negazione:
se una successione
ha due sottosuccessioni con due limiti diversi, allora non ha limite.
Basta,
quindi, trovare due sottosuccessioni siffatte per provare che una
successione
non ha limite, anziché dimostrare tutto ciò direttamente
(che è, come accennato
in precedenza, molto più complicato).
