Sezione: Esempi

Esempi

ESEMPIO

**Figura 5.1:** Grafico di

Lo studio della funzione determina il grafico rappresentato in figura 5.1. In particolare si ha:
lim $_{x\rightarrow +\infty}V(x)=+\infty$
lim $_{x\rightarrow -\infty}V(x)=-\infty$
Inoltre si ha un minimo relativo in , con , un massimo relativo in $x_M=\displaystyle \frac{2}{3}$ , con $M=V(x_M)=\displaystyle \frac{4}{27}$ , e un flesso obliquo in $x_F=\displaystyle \frac{1}{3}$ .
Infatti . Dunque gli unici punti di stazionarietà di , cioè le configurazioni di equilibrio si hanno per (equilibrio stabile) e per $x=x_M=\displaystyle\frac{2}{3}$ (equilibrio instabile).
Ora, seguendo lo schema illustrato nel capitolo precedente, l'insieme $\Psi$ (definito dalla 4.3) dei valori che può assumere l'energia totale coincide con $\mathbb{R}$ in quanto

inf $\displaystyle _{x\in\mathbb{R}}V(x)=-\infty\;.$

$E\in \Psi$

.
Come si evince immediatamente dalla figura 5.1 i soli valori ammisibili per il dato iniziale sono quelli dell'intervallo $[x_1,+\infty[$ . Quindi si applica direttamente il punto 3d dello schema e il moto è sempre aperiodico e la corrispondente curva di livello nel piano $(x,\dot{x}$ è quella contrassegnata dalla lettera .
.
Si hanno due possibilità per il dato iniziale :

(i)

, corrispondente al caso 3a dello schema. In corrispondenza a questa configurazione di equilibrio stabile, l'orbita nel piano $(x,\dot{x})$ si riduce al punto .

(ii)

$x_0\in\,[1,+\infty[$ . Caso analogo al 1, cioè (3d dello schema): moto aperiodico con orbita determinata da .
$0<E_3<M=\displaystyle \frac{4}{27}$ si hanno due possibilità:

(i)

$x_0\in\,]x_2,x_3[$ (si veda figura 5.3).
Siamo nel caso 3b dello schema, pertanto il moto è periodico fra e e l'orbita nel piano delle fasi è chiusa e percorsa in senso orario.

(ii)

$x_0\in\,[x_4,+\infty[$
Di nuovo siamo nel caso 3d dello schema, analogo a 1: moto aperiodico.
$E_4=M=\displaystyle\frac{4}{27}$

(i)

$x_0=\displaystyle\frac{2}{3}$ .
E' il caso 3a: configurazione di equilibrio instabile. Orbita in $(x,\dot{x})$ che si riduce al punto $(\displaystyle \frac{2}{3},0)$ .

(ii)

$x_0=]x_5,\displaystyle\frac{2}{3}[$ .
E' il caso 3c: moto asintotico verso $x_M=\displaystyle \frac{2}{3}$ . Orbita come in figura 4.6, limitata non chiusa (manca il punto $(\displaystyle \frac{2}{3},0)$ ) percorsa in senso orario.

(iii)

$x_0=]\displaystyle\frac{2}{3},+\infty[$ .
Caso 3c dello schema: se $\dot{x_0}>0$ il moto è aperiodico; se $\dot{x_0}<0$ il moto è asintotico verso $\displaystyle\frac{2}{3}$ .
.
Siamo di nuovo nel caso 3d con moto aperiodico. In questo caso l'orbita subisce "`strozzature"' per $x\rightarrow \displaystyle \frac{2}{3}$ poichè la velocità tende ad un minimo relativo, dato che l'energia totale resta fissa mentre l'energia potenziale tende al suo massimo relativo.

Osservazione 5.1 Tutte le curve di livello rappresentate in figura 5.2 vanno disegnate in modo tale che per $x\rightarrow +\infty$ si abbia $\dot{x}\rightarrow\pm\infty$ . Infatti si ha: poichè $\;\;$ lim $_{x\rightarrow +\infty}V(x)=-\infty\;\;\;$ e $\;\dot{x}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x)}$

lim $\displaystyle _ {x\rightarrow +\infty}\dot{x}=$ lim $\displaystyle _ {x\rightarrow +\infty}\pm\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x)}=\pm\infty$

**Figura 5.2:** Funzione e spazio delle fasi di

ESEMPIO

$V(x)={(x^2-1)}^2$

**Figura 5.3:** Grafico di $V(x)={(x^2-1)}^2$

Lo studio della funzione determina il grafico rappresentato in figura 5.3. In particolare si ha:
$lim_{x\rightarrow+\infty}V(x)=+\infty$
$lim_{x\rightarrow-\infty}V(x)=+\infty$
Inoltre si hanno due minimi relativi in $x_{m1}=-1$ e $x_{m2}=1$ , con $m1=V(x_{m1})=0=m2$ , un massimo relativo in , con , e due flessi obliqui. Infatti .
Dunque gli unici punti di stazionarietà di , cioè le configurazioni di equilibrio si hanno per $x=x_{m1}=-1$ , $x=x_{m2}=1$ (equilibrio instabile) e per (equilibrio instabile). Ora, seguendo lo schema dell'analisi qualitativa, l'insieme dei valori ammissibili $\Psi$ dell'energia totale coincide con $\mathbb{R}^+\cup{\left\{0\right\}}$ in quanto

inf $\displaystyle _{x\in\mathbb{R}}V(x)=0\;.$

$E\in \Psi$

.
Si hanno due possibilità per il dato iniziale :

(i)

, corrispondente al caso 3a dello schema. In corrispondenza a questa configurazione di equilibrio stabile, l'orbita nel piano $(x,\dot{x})$ si riduce al punto .

(ii)

, analogo ad , ma con la differenza che ora l'orbita nel piano $(x,\dot{x})$ si riduce al punto .
Si hanno due possibilità (vedi figura 5.3):

(i)

$x_0\in]x_1,x_2[$
Siamo nel caso 3b dello schema, pertanto il moto è periodico fra e e l'orbita nel piano delle fasi è chiusa e percorsa in senso orario.

(ii)

$x_0\in]x_3,x_4[$
Di nuovo siamo nel caso 3b, ma ora il moto è periodico fra e .
(i)

, siamo nel caso 3a dello schema: configurazione di equilibrio instabile. L'orbita nel piano delle fasi si riduce al punto .

(ii)

$x_0\in]x_5,1[$ oppure $x_0\in]1,x_6[$ .
E' il caso 3c:moto asintotico verso . Orbita come in figura 4.6, limitata, non chiusa (manca il punto ) percorsa in senso orario.
Siamo di nuovo nel caso3b: moto periodico e l'orbita nel piano delle fasi è chiusa, percorsa in senso orario.

Osservazione 5.2 La curva di livello rappresentata in figura 5.4 viene disegnata in modo tale che in prossimità del punto essa si "`schiaccia"'. Nel caso di $\dot{x}>0$ ( $\dot{x}<0$ ) questo "`schiacciamento"' è dovuto al fatto che la velocità diminuisce (aumenta) in quanto legata all'energia potenziale e all'energia totale (in questo caso ) dalla legge $\dot{x}=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{2}{m}(E-V(x))}$ , dove tende al suo punto di massimo relativo.

**Figura 5.4:** Spazio delle fasi di $V(x)={(x^2-1)}^2$

ESEMPIO

$V(x)=e^{-2x}-e^{-x}$

**Figura 5.5:** Grafico di $V(x)=e^{-2x}-e^{-x}$

Lo studio della funzione determina il grafico rappresentato in figura 5.5. In particolare si ha:
$lim_{x\rightarrow+\infty}V(x)=0$
$lim_{x\rightarrow-\infty}V(x)=+\infty$
Inoltre si ha un minimo relativo in , con $m=V(x-m)=-\displaystyle\frac{1}{4}$ . Infatti $V'(x)=e^{-x}(-2e{-x}+1)$ . Quindi l'unico punto di stazionarietà di si ha pe (equilibrio stabile).
Secondo lo schema precedentemente mostrato l'insieme dei valori $\Psi$ che può assumere l'energia totale è dato da con $x\geq -\displaystyle\frac{1}{4}$ poichè

inf $\displaystyle _{x\in\mathbb{R}}V(x)=-\displaystyle\frac{1}{4}\;.$

Possiamo così raggruppare i valori di

in 3 casi.

$E_1^{\alpha}=m=-\displaystyle\frac{1}{4}$ e $m<E_1^{\beta}<0$

(i)

, corrispondente al caso 3a dello schema.
In corrispondenza a questa configurazione di equilibrio stabile, l'orbita nel piano $(x,\dot{x})$ si riduce al punto .

(ii)

$x_0\in]x_1,x_2[$ , siamo nel caso 3b dello schema, pertanto il moto è periodico fra e e l'orbita nel piano $(x,\dot{x})$ è chiusa e percorsa in senso orario.
Come si evince immediatamente dalla figura 5.5 i soli valori ammissibili per il dato iniziale sono quelli dell'intervallo $[0,+\infty[$ ; quindi siamo nel caso 3d dello schema: moto aperiodico.
In questo caso l'orbita tende verso l'asse delle ascisse, per $x\rightarrow +\infty$ , dato che l'energia totale resta fissa e l'energia potenziale tende a zero.
Siamo di nuovo nel caso 3d con moto aperiodico e l'orbita è analoga al caso di .

**Figura 5.6:** Spazio delle fasi di $V(x)=e^{-2x}-e^{-x}$