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Osservazione


 

Verifichiamo che b (v) è lineare :

 

b (v)(c L + c1L1) = (c L + c1L1) (v) = (c L)(v) + (c1L1)(v) =

= c L(v) + c1L1(v) = cb (v)(L) + c1b (v)(L1),

per ogni L, L1 Î V*, c, c1Î K, e quindi b (v) è un funzionale lineare su V*.

Verifichiamo ora che b : V® V** è lineare.

 

Per ogni v, v1Î V, c, c1Î K, si ha

b (cv + c1v1)(L) = L(cv + c1v1) = cL(v) + c1L(v1) =

= cb (v)(L) + c1b (v1)(L) = [cb (v) + c1b (v1)](L)

per ogni LÎ V*.

Per dimostrare che b è un isomorfismo è sufficiente far vedere che

Ker(b ) = á 0ñ . Infatti se dim(V) = n allora dall'isomorfismo di V e di V* segue che

dim(V**) = dim(V*) = dim(V) = n.

Supponiamo per assurdo che esista vÎ V, v ¹ 0, tale che b (v) = 0 Î V**.

Allora si ha

b (v) (L) = L(v) = 0

per ogni LÎ V*.

Siano v2, ..., vn Î V tali che { v, v2, ..., vn} sia una base di V. Il funzionale LÎ V* definito da

L(v) = 1, L(vi) = 0 i = 2, ..., n,

dà una contraddizione.