Consideriamo in R² le basi :

e = {e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1)} ed f = {f₁ = (1, 1), f₂ = (-1, 0)}

Allora

f₁ = (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) = e₁ + e₂

f₂ = (-1, 0) = - (1, 0) + 0(0, 1) = -e₁ + 0e₂

Quindi la matrice di cambiamento di coordinate dalla base e alla base f è :

M_{f, e}(1_V) =

Inoltre

e₁ = (1, 0) = 0(1, 1) - (-1, 0) = 0f₁ - f₂

e₂ = (0, 1) = (1, 1) + (-1, 0) = f₁ + f₂

Allora la matrice di cambiamento di coordinate dalla base f alla base e è :

M_{e, f}(1_V) =

Si noti che M_{f, e}(1_V) ed M_{e, f}(1_V) sono inverse, infatti il loro prodotto è uguale alla matrice identità:

M_{f, e}(1_V) M_{e, f}(1_V) = = = I

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