DetOperLin

DETERMINANTE DI UN OPERATORE LINEARE

Il determinante dell’operatore F , det(M_e(F)), si denota con det(F),
senza dover specificare la matrice M_e(F) attraverso la quale è stato calcolato.
Infatti siano e = {e₁, … , e_n} ed f = {f₁, … , f_n} due basi distinte di V.
Dalla proposizione sulla matrice associata alla composizione di applicazioni lineari, deduciamo che

M_f(F) = M_{f, e}(1_V) M_e(F) M_{e, f}(1_V).

Poiché M_{f, e}(1_V) = M_{e, f}(1_V)^-1, otteniamo

M_f(F) = M_{e, f}(1_V)^-1 M_e(F) M_{e, f}(1_V)

da cui segue immediatamente, per il teorema di Binet, che

det(M_f(F)) = det(M_e(F)),

cioè det(M_e(F)) non dipende dalla base e, ma solo da F.