Corso di Laurea in Matematica

Prova d'esame del 28-02-1995

 

  1. Consideriamo la matrice
  2. At =

    dove t è un parametro complesso.

    1. Per quali valori di t la matrice At è diagonalizzabile?
    2. Sia A0 la matrice At con t = 0. Scrivetela nella forma PDP- 1, dove D è diagonale.

     

  3. Consideriamo la matrice
  4. A = .

    1. Trovate una base del nucleo della trasformazione lineare TA : R5® R4.
    2. Trovate una trasformazione lineare T : R4® R5 che abbia come immagine V e come nucleo il sottospazio di R4 generato da t(1, 1, 1, 1).
    3. Se U è uno spazio vettoriale di dimensione n e W Í U un sottospazio, allora esiste una trasformazione lineare F: U® R5 con ImF = V e Ker F = W se e solo se dim W = n - 3.

     

  5. Sia U lo spazio dei polinomi di grado al più 2, e poniamo

    e = (1, x - 2, (x - 2)2), f = (1, x + 1, (x + 1)2).

    1. Mostrate che e e f sono due basi di U.
    2. Trovate la matrice di passaggio da e a f, ed usatela per mettere il polinomio
      a0 + a1(x - 2) + a2(x - 2)2 nella forma b0 + b1(x + 2) + b2(x + 2)2.
  6.  

  7. Siano U e V spazi vettoriali su K, U1Í U e V1Í V sottospazi.
    1. Dimostrate che esiste una funzione lineare iniettiva F : U® V con F(U1) Í V1 se e solo se
      dim U£ dim V e dim U1£ dim V1.
    2. Dimostrate che esiste una funzione lineare suriettiva F : U® V con V1Í F(U1) se e solo se
      dim V£ dim U e dim V1£ dim U1.

 

Prova d'esame del 6-06-1995

  1. Se tÎ C poniamo

    At = .

    1. Calcolate la dimensione del nucleo e dell'immagine di At:C3® C3 al variare di t.
    2. Trovate per quali t il sistema Atx = t(0, 2, 2), x Î C 3, ha soluzione, e trovatene una quando esiste.
    3. Sia A0 la matrice At con t = 0. Calcolate gli autovalori di A0, fate vedere che essa è diagonalizzabile, e dimostrate che C3 = Ker A Å Im A.
  2.  

  3. Consideriamo M2(R) come spazio vettoriale reale. Sia inoltre

    e = (e11, e12, e21, e22),

    dove eij è la matrice con 1 al posto (i, j) e 0 altrove. Sia

    A = Î M2(R),

    e consideriamo l'operatore lineare : M2(R) ® M2(R) definito da (X) = AX.

    1. Trovate la matrice di rispetto alla base e.
    2. Calcolate gli autovalori di .
  4.  

  5. Se A è una matrice complessa n ´ n in cui 0 appare come autovalore con molteplicità geometrica uguale alla molteplicità algebrica, fate vedere che Cn = Ker A Å ImA.

 

Prova d'esame del 11-09-1995

  1. Se t Î R poniamo

    At =.

    1. Calcolate il rango di At: R3® R3 al variare di t. Fissate un valore di t per il quale At: R3® R3 non sia suriettiva, e trovate un'equazione per l'immagine di At.
    2. Quali sono gli autovalori di At, e per quali valori di t essa è diagonalizzabile?
    3. Sia T: R3® R3 la trasformazione lineare definita da

      T(x, y, z) = (x - 3y + z, x - 3y + z, x - 3y + z).

      Esiste una base v di R3 tale che Mv(T) = At per qualche valore di t?

  2.  

  3. Sia V uno spazio vettoriale reale, T :V ® V una trasformazione lineare.
    Supponiamo che esistano due vettori linearmente indipendenti v1 e v2 in V con T(v1) = v2 e T(v2) = v1. Fate vedere che 1 e -1 sono autovalori di T.

 

Prova d'esame del 9-10-1995

Sia

Ah =

dove h è un parametro reale.

  1. Calcolate il rango di Ah al variare di h.
  2. Supponete che la somma degli autovalori di Ah sia nulla. Cosa possiamo dire del loro prodotto?