Corso di Laurea in Matematica

Prova d'esame del 8/06/1996

 

Nello spazio vettoriale R4 si considerino i vettori:

v1 = (1, 0, 1, -1), v2 = (0, 0, 2, 1), v3 = (2, 1, 2, -1), v4 = (0, 0, 0, 3), e i sottospazi:

Z = áv3 + v4ñ , U = á v1, v2ñ, W = áv3, v4ñ.

  1. Si dica se le somme Z + U e Z + U + W sono somme dirette, e si provi che U e W sono supplementari in R4.
  2. Sia pU: R4® U la proiezione su U associata alla decomposizione
    3. R4 = U Å W; si determini MB,E(pU), dove B è la base (v1, v2), ed E è la base canonica di R4.
  3. Esiste un endomorfismo F di R4 tale che Ker(F) =U e dim Im(F 2) = 1?
  4. Si costruisca un endomorfismo G di R4 tale che G non sia l'identità, G(U) Í U, G(W) Í W, e G sia diagonalizzabile.
  5. Si costruisca un endomorfismo G di R4 tale che G(U)Í U, G(W) Í W, e G non sia diagonalizzabile.

 

Prova d'esame del 10/07/1996

In V = M2(R) si considerino i sottospazi:

U = á ñ , W = { , a, b Î R }, T = á, ñ.

  1. Si dica se le somme U + W, e U + W + T sono somme dirette oppure no.
  2. Si costruisca FÎ End(V) tale che Ker(F) = W e F/U= id U.
  3. Può una F come in b) essere diagonalizzabile? E non diagonalizzabile? In entrambi i casi, in caso di risposta positiva se ne costruisca una.

 

Prova d'esame del 23/09/1996

  1. Nello spazio vettoriale V:= M2(R) si consideri il sottospazio

    2. U:= á , ñ .

    1. Si costruisca un'applicazione F: R3® V lineare, non iniettiva, e tale che UÍ Im F.
    2. E' possibile trovare due basi B, C rispettivamente per R3 e per V tali che MC,B(F) non abbia alcuna colonna nulla?
    3. Esiste G: V® V non identicamente nulla, e tale che G F sia l'applicazione nulla?
    4. Si determinino due sottospazi non nulli W, T di V tali che la somma > U + W + T sia diretta. E' vero che per ogni scelta di tali W, T risulta U Å W Å T = V?

     

  2. Sia A la matrice:

    3. A = ,

    e sia B la seguente base di R3: (e1 + e2, - e3, e2 + 4e3).

    1. Si dica se l'endomorfismo G di R3 tale che MB(G) =A è diagonalizzabile, e se ne calcolino autovalori e autospazi.
    2. Sia P una matrice invertibile; è vero che la matrice P -1AP ha gli stessi autovalori e autospazi di A?
Se vuoi vedere la soluzione

 

Prova d'esame del 15/10/1996

 

Sia G l'endomorfismo di R3 tale che

MB(G) = .

  1. Si dica se G è invertibile e se sì, si calcoli la matrice di G -1 rispetto alla base canonica.
  2. Si calcolino autovalori e autospazi di G e si dica se G è diagonalizzabile.