Sia R con la topologia euclidea, si considerino i sottoinsiemi: S₁ = Z, S₂ = Q, S₃ = (0,1]. Determinare chiusura e derivato di S₁, S₂, S₃.

Trovare:

1. Due sottoinsiemi S e T di uno spazio topologico X tali che dove l'inclusione è stretta.
2. Due sottoinsiemi E ed F di uno spazio topologico Y tali che valga l'uguaglianza .
3. Due sottoinsiemi G e H di uno spazio topologico Z tali che G Ì H (inclusione stretta), ma

.

Sia S un sottoinsieme finito di R. Determinare chiusura e derivato di S rispettivamente nella topologia euclidea e nella topologia cofinita.

Dato l'insieme X = {a, b, c, d, e} con la topologia

t = {X, Æ , {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}

Trovare la chiusura e derivato dei seguenti sottoinsiemi:

{a}, {e}, {d, e}, {a, c}, {a, b}, {a, d, e}.

Esiste qualche spazio topologico X (non vuoto) tale che per ogni sottoinsieme S di X si abbia ?

Siano A e B due sottoinsiemi aperti non vuoti di uno spazio topologico X e sia AÇB = Æ . Per ciascuna delle seguenti affermazioni dire se è sempre vera, sempre falsa o se può essere vera o falsa a seconda della scelta di A e di B:

a.       b. Æ