Risoluzione dell'Esercizio 1

Determiniamo 1, si ha S1 contenuto in 1; sia ora x Ï S1, allora x è compreso tra due numeri interi consecutivi: n < x < n+1, posto e = min(x-n; n+1-x), nel disco De (x) non cade alcun punto di S1, quindi xÏ1, si conclude che 1 = S1.

Vogliamo dimostrare che Q è denso in R, cioè che la sua chiusura è tutto R.

Occorre dimostrare che " x Î R e " intorno U di x, U contiene punti di Q.

Possiamo considerare un generico intorno di x della forma (x-e , x+e ). Sappiamo che tra due numeri reali distinti esiste almeno un numero razionale.

Determiniamo 3, sappiamo che S3 contenuto in 3, inoltre è facile vedere che 0 è di accumulazione per S4, d'altra parte si vede subito che se x < 0 oppure x > 1, x non può essere di accumulazione per S3. Si conclude che 3 = [0,1].

Possiamo ora determinare i derivati di S1, S2, S3. Le informazioni occorrenti per tale determinazione si desumono senza difficoltà da quanto visto sopra a proposito delle chiusure. Così si ha:

D(Z) = Æ , D(Q) = R, D(S3) = [0,1].

 

 


 

 Risoluzione dell'Esercizio 2

  1. Consideriamo in R2 con la topologia euclidea due dischi aperti presi in modo tale che le rispettive frontiere, cioè le circonferenze siano tangenti:
  2. vediamo che SÇT = Æ , la cui chiusura è il Æ stesso,

    mentre , quindi abbiamo che

    Æ = = {a}.

  3. Basta considerare due insiemi E e F che siano chiusi, questo implica che gli insiemi sono uguali alla propria chiusura, anche l'intersezione di due chiusi è chiusa; implica che .
  4. Basta considerare un insieme H chiuso e G = Int(H).

 

 


 

Risoluzione dell'Esercizio 3

Consideriamo R con la topologia euclidea:

perché S è unione finita di chiusi.

D(S)=Æ

infatti sia S = { a1, , an} con a1<<an; sia e <min{|ai - ai -1|, |ai+1 - ai|}, l'intorno

(ai - e , ai + e ) non contiene altri elementi di S.

Consideriamo ora R con la topologia cofinita:

perché S è un chiuso.

D(S)=Æ

infatti R \ {a1, , ai-1, ai+1, , an} è un aperto che contiene ai, ma non contiene altri elementi di S.

 

 


 

Risoluzione dell'Esercizio 4

La chiusura di {a} è X, il derivato di {a} è X;

la chiusura di {e} è {e}, il derivato di {e} è Æ ;

la chiusura di {d, e} è {c, d, e}, il derivato di {d, e} è {c};

la chiusura di {a, c} è X, il derivato di {a, c} è {b, c, d, e};

la chiusura di {a, b} è X, il derivato di {a, b} è {b, c, d, e};

la chiusura di {a, d, e} è X, il derivato di {a, d, e} è {b, c, d, e}.

 

 


 

Risoluzione dell'Esercizio 5

Un tale spazio topologico esiste, infatti basta prendere un qualsiasi insieme X e dotarlo della topologia discreta.

 

 


 

Risoluzione dell'Esercizio 6

  1. Il risultato dipende dalla scelta degli insiemi e della topologia per X; infatti se consideriamo in (R, e) due intervalli aperti di estremi (esclusi) ad esempio 1, 2 e 4, 5, allora le loro chiusure sono distinte. Se consideriamo gli stessi intervalli in R dotato della topologia cofinita, allora entrambe le chiusure sono uguali ad R.
  2. Il risultato dipende dalla scelta degli insiemi e della topologia per X; infatti se consideriamo in (R2, e) due dischi aperti le cui circonferenze sono tangenti, allora le loro chiusure si intersecano. Se consideriamo due dischi aperti le cui circonferenze non si intersecano, avremo che anche le rispettive chiusure non si intersecano.