Determiniamo ₁, si ha S₁ è contenuto in ₁; sia ora x Ï S₁, allora x è compreso tra due numeri interi consecutivi: n < x < n+1, posto e = min(x-n; n+1-x), nel disco D_e (x) non cade alcun punto di S₁, quindi xÏ₁, si conclude che ₁ = S₁.

Vogliamo dimostrare che Q è denso in R, cioè che la sua chiusura è tutto R.

Occorre dimostrare che " x Î R e " intorno U di x, U contiene punti di Q.

Possiamo considerare un generico intorno di x della forma (x-e , x+e ). Sappiamo che tra due numeri reali distinti esiste almeno un numero razionale.

Determiniamo ₃, sappiamo che S₃ è contenuto in ₃, inoltre è facile vedere che 0 è di accumulazione per S₄, d'altra parte si vede subito che se x < 0 oppure x > 1, x non può essere di accumulazione per S₃. Si conclude che ₃ = [0,1].

Possiamo ora determinare i derivati di S₁, S₂, S₃. Le informazioni occorrenti per tale determinazione si desumono senza difficoltà da quanto visto sopra a proposito delle chiusure. Così si ha:

D(Z) = Æ , D(Q) = R, D(S₃) = [0,1].

1. Consideriamo in R² con la topologia euclidea due dischi aperti presi in modo tale che le rispettive frontiere, cioè le circonferenze siano tangenti:

vediamo che SÇT = Æ , la cui chiusura è il Æ stesso,

mentre , quindi abbiamo che

Æ = = {a}.

2. Basta considerare due insiemi E e F che siano chiusi, questo implica che gli insiemi sono uguali alla propria chiusura, anche l'intersezione di due chiusi è chiusa; implica che .
3. Basta considerare un insieme H chiuso e G = Int(H).

Consideriamo R con la topologia euclidea:

perché S è unione finita di chiusi.

infatti sia S = { a₁, …, a_n} con a₁<…<a_n; sia e <min{|a_i - a_i -1|, |a_i+1 - a_i|}, l'intorno

(a_i - e , a_i + e ) non contiene altri elementi di S.

Consideriamo ora R con la topologia cofinita:

perché S è un chiuso.

infatti R \ {a₁, …, a_i-1, a_i+1, …, a_n} è un aperto che contiene a_i, ma non contiene altri elementi di S.

La chiusura di {a} è X, il derivato di {a} è X;

la chiusura di {e} è {e}, il derivato di {e} è Æ ;

la chiusura di {d, e} è {c, d, e}, il derivato di {d, e} è {c};

la chiusura di {a, c} è X, il derivato di {a, c} è {b, c, d, e};

la chiusura di {a, b} è X, il derivato di {a, b} è {b, c, d, e};

la chiusura di {a, d, e} è X, il derivato di {a, d, e} è {b, c, d, e}.

Un tale spazio topologico esiste, infatti basta prendere un qualsiasi insieme X e dotarlo della topologia discreta.

1. Il risultato dipende dalla scelta degli insiemi e della topologia per X; infatti se consideriamo in (R, e) due intervalli aperti di estremi (esclusi) ad esempio 1, 2 e 4, 5, allora le loro chiusure sono distinte. Se consideriamo gli stessi intervalli in R dotato della topologia cofinita, allora entrambe le chiusure sono uguali ad R.
2. Il risultato dipende dalla scelta degli insiemi e della topologia per X; infatti se consideriamo in (R², e) due dischi aperti le cui circonferenze sono tangenti, allora le loro chiusure si intersecano. Se consideriamo due dischi aperti le cui circonferenze non si intersecano, avremo che anche le rispettive chiusure non si intersecano.