Esercizio 1

Si provi che le seguenti due famiglie di sottoinsiemi di R sono basi per la topologia euclidea su R:

B1 = {(a, b); a, b Î R e a<b}

B2 = {(a, b); a Î R e 0<a-b<1} .

 

 

 

Esercizio 2

Si provi che la seguente famiglia di sottoinsiemi di R è una base per la topologia euclidea di R.

B = {(p, q); p, q Î Q, p<q} .

 

 

 

Esercizio 3

  1. Dimostrare che sulla retta R la famiglia G = {(a, b]; a, b Î R, a<b} è base di una topologia t .
  2. La topologia t è confrontabile con la topologia euclidea?

 

 

 

Esercizio 4

Sia (X, t ) uno spazio topologico e siano B1 e B2 due basi di aperti per X.

  1. B1 Ç B2 è una base di aperti per X?
  2. B1 È B2 è una base di aperti per X?

 

 

 

Esercizio 5

Consideriamo le topologie su R:

t 1 = {Æ , X} È {(a, + )}aÎ R

t 2 = {Æ , X} È {[a, + )}aÎ R È {(a, + )}aÎ R

si dica se R con ciascuna di queste due topologie soddisfa il secondo assioma di numerabilità.