Risoluzione dell'Esercizio 1

B1: (a, b) sono aperti nella topologia euclidea, quindi è soddisfatta la condizione B1ÍE. Osserviamo che dato AÎe, sia xÎA, esiste un intervallo aperto (x-d, x+d) (dove d dipende da x) contenuto in A. Al variare di x in A, l'unione di questi intervalli aperti coincide con A stesso. Quindi ogni AÎe può essere scritto come unione di elementi di B1. Il ragionamento per la famiglia B2 è analogo al precedente, basta osservare che si può sempre sostituire d(x) con un d '(x) più piccolo: d '(x)<1/2 così che risulterà (x - d '(x), x + d '(x))Î B2.

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 2

Basta procedere come nell'esercizio precedente osservando che ogni intervallo aperto

(x - d(x), x + d(x)) può essere sostituito da un intervallo aperto (p, q) con

x - d(x)<p<x; x<q<x + d(x) p, q Î Q

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 3

  1. Se x Î R, $ a, b tali che x Î (a, b],

    se y Î (a1, b1]Ç (a2, b2], $ a, b tali che
    y Î (a, b]Ì (a1, b1]Ç (a2, b2]: basta prendere

    a = max{ a1, a2} e b = min{ b1, b2} .

    Dunque la famiglia G genera la topologia t su R.

  2. Poiché (a, b) = È (a, b - 1/n]n Î N la topologia t è più fine di quella euclidea.

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 4

Una famiglia B di aperti di X è una base di aperti di X se ogni aperto A di X si può scrivere come unione di elementi di B.

  1. Dalla definizione risulta che per ogni aperto A vale:

    2. A = È Ci = È Dj

    con CiÎ B1 e DjÎ B2, allora possiamo scrivere

    A = (È Ci)Ç (È Dj) = È i,j (Ci Ç Dj)

    unione di elementi di B1Ç B2.

  2. Dalla definizione risulta che per ogni aperto A vale: A = È Ci con CiÎ B1 , ma

CiÎ B1È B2

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 5

 

(R, t 1) soddisfa il secondo assioma di numerabilità.

Consideriamo la famiglia di aperti di R, B={(q, +¥); qÎ Q} , sia A un aperto e sia x Î A Þ $ a Î R tale che x Î (a, +¥).

a<x Þ $ q Î Q tale che a<q<x, allora x Î (q, +¥ )Í (a, +¥ ) Þ (per la proposizione 4.6) B è base numerabile di aperti per la topologia t 1 su R.

(R, t 2) non soddisfa il secondo assioma di numerabilità.

Dimostriamo che una base di aperti per t 2 deve necessariamente contenere la famiglia

{[a, +¥ )} a Î R.

Consideriamo l'aperto [a, +¥)Î t 2; se B è una base di aperti di t 2 allora esiste CÎ B tale che a Î CÍ [a, +¥). Poiché a Î C, allora necessariamente C=[a, +¥).