Esercizio 1

Si consideri R con le topologie euclidea e cofinita, determinare in ciascuna delle due topologie un intorno aperto del punto p (scegliendo tali intorni, quando è possibile, propriamente contenuti in R).

Dimostrare che nella topologia cofinita gli intorni di un punto p Î R sono tutti e soli gli aperti che contengono il punto p.

 

     

 

 

Esercizio 2

Consideriamo (R, e). Dimostrare che la famiglia {[x-r, x+r]} r>0 è una base di intorni di x, mentre la famiglia {[x-r, + )} r>0 non lo è.

 

 

 

 

Esercizio 3

Sia x un punto di uno spazio topologico (X, t ) e sia N(x) il sistema degli intorni di x.

Dimostrare che N(x) ha le seguenti proprietà:

  1. se N1, N2 Î N(x), allora N1Ç N2 Î N(x);
  2. se NÎ N(x) e X É M É N, allora M Î N(x).

 

 

 

 

Esercizio 4

Si dimostri che R con la topologia cofinita non soddisfa il primo assioma di numerabilità.