Si consideri R con le topologie euclidea e cofinita, determinare in ciascuna delle due topologie un intorno aperto del punto p (scegliendo tali intorni, quando è possibile, propriamente contenuti in R).

Dimostrare che nella topologia cofinita gli intorni di un punto p Î R sono tutti e soli gli aperti che contengono il punto p.

Consideriamo (R, e). Dimostrare che la famiglia {[x-r, x+r]} _r>0 è una base di intorni di x, mentre la famiglia {[x-r, +¥ )} _r>0 non lo è.

Sia x un punto di uno spazio topologico (X, t ) e sia N(x) il sistema degli intorni di x.

Dimostrare che N(x) ha le seguenti proprietà:

1. se N₁, N₂ Î N(x), allora N₁Ç N₂ Î N(x);
2. se NÎ N(x) e X É M É N, allora M Î N(x).

Si dimostri che R con la topologia cofinita non soddisfa il primo assioma di numerabilità.