Nella topologia euclidea un intorno aperto di p è un intervallo del tipo

(p-e, p+e )

con e Î R⁺.

Nella topologia cofinita un intorno aperto può essere della forma

R \ {a₁, …, a_n}

con a_i¹ p, " i = 1, …, n; con n finito.

In R con la topologia cofinita ogni aperto che contiene un punto p è anche intorno di p per definizione di intorno. Sia U intorno di p, per definizione esiste un aperto A tale che pÎAÍU, ma A è della forma R \ {a₁, …, a_n} con n finito, assumiamo che esiste xÎU tale che xÏA (altrimenti U=A è avremmo già l'asserto), da cui x = a_i per un certo i = 1,…, n; in questo modo U risulta della forma R \ {a₁, …, a_i - 1, a_i + 1, …, a_n} che è un aperto.

E' molto semplice vedere che la famiglia di intorni di x, {[x-r, x+r]} _r>0 è una base, infatti per ogni intorno U di x, basta prendere un r abbastanza piccolo in modo che

[x-r, x+r] Í U.

La famiglia B={[x-r, +¥ )} _r>0 non è base di intorni di x, infatti l'intervallo [x-1, x+1] è intorno di x, ma non esiste alcun VÎB tale che VÎ[x-1, x+1].

1. N₁ ed N₂ sono intorni di x Þ $ A₁ ed A₂ aperti in X, tali che

xÎ A₁ Í N₁

xÎ A₂ Í N₂

N₁Ç N₂ è anch'esso un intorno di x, perché A₁ Ç A₂ è un aperto tale che

x Î A₁ Ç A₂ Í N₁Ç N₂.

2. N è intorno di x Þ $ A aperto in X, tale che xÎ A Í N. Se vale NÌ MÌ X, allora vale:

x Î A Í N Ì M.

Supponiamo per assurdo che À = {U_n} _{nÎ N} sia una base numerabile di intorni di un punto x₀ di R. Ciascun U_n è della forma U_n = R \ {a_n1, …, a_ns} .

Poiché l'insieme

è numerabile ed R non lo è Þ $ a Î R con a Ï G. Ma allora R \ {a} è un intorno di x₀ che non contiene alcuno degli U_n Î À .