Risoluzione dell'Esercizio 1

Nella topologia euclidea un intorno aperto di p è un intervallo del tipo

(p-e, p+e )

con e Î R+.

Nella topologia cofinita un intorno aperto può essere della forma

R \ {a1, , an}

con ai p, " i = 1, , n; con n finito.

In R con la topologia cofinita ogni aperto che contiene un punto p è anche intorno di p per definizione di intorno. Sia U intorno di p, per definizione esiste un aperto A tale che pÎAÍU, ma A è della forma R \ {a1, , an} con n finito, assumiamo che esiste xÎU tale che xÏA (altrimenti U=A è avremmo già l'asserto), da cui x = ai per un certo i = 1,, n; in questo modo U risulta della forma R \ {a1, , ai - 1, ai + 1, , an} che è un aperto.

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 2

E' molto semplice vedere che la famiglia di intorni di x, {[x-r, x+r]} r>0 è una base, infatti per ogni intorno U di x, basta prendere un r abbastanza piccolo in modo che

[x-r, x+r] Í U.

La famiglia B={[x-r, + )} r>0 non è base di intorni di x, infatti l'intervallo [x-1, x+1] è intorno di x, ma non esiste alcun VÎB tale che VÎ[x-1, x+1].

 

 


 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 3

  1. N1 ed N2 sono intorni di x Þ $ A1 ed A2 aperti in X, tali che
  2. xÎ A1 Í N1

    xÎ A2 Í N2

    N1Ç N2 è anch'esso un intorno di x, perché A1 Ç A2 è un aperto tale che

    x Î A1 Ç A2 Í N1Ç N2.

  3. N è intorno di x Þ $ A aperto in X, tale che xÎ A Í N. Se vale NÌ MÌ X, allora vale:

x Î A Í N Ì M.

 

 


 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 4

Supponiamo per assurdo che À = {Un} nÎ N sia una base numerabile di intorni di un punto x0 di R. Ciascun Un è della forma Un = R \ {an1, , ans} .

Poiché l'insieme

è numerabile ed R non lo è Þ $ a Î R con a Ï G. Ma allora R \ {a} è un intorno di x0 che non contiene alcuno degli Un Î À .