Determinare tutte le topologie di cui si può dotare un insieme X di 2 elementi.

Dato un insieme di tre elementi X = {a, b, c} dire se i seguenti insiemi sono topologie su X:

t₁ = {Æ, X, {a}, { a, b}, {b, c}};

t₂ = {Æ, X, {a}, {a, b}, {a, c}}.

Consideriamo su R le topologie euclidea e e la topologia cofinita k. Determinare se sono confrontabili e, in tal caso, quale delle due è meno fine dell'altra.

Sia a la famiglia dei sottoinsiemi A di R che sono simmetrici rispetto all'origine (cioè x Î A Þ -x Î A).

Verificare che a è la famiglia degli aperti di una topologia su R.

La topologia a è confrontabile con la topologia euclidea?

Dare un esempio di due topologie t₁ e t₂ su un insieme X tali che t₁ È t₂ non è una topologia.