Risoluzione dell'Esercizio 1

Sia X = {a, b}; sappiamo che una topologia t su X è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di X. Inoltre la topologia discreta t1 = {Æ, X, {a}, {b}} e la topologia banale t2 = {Æ, X} sono topologie esistenti su qualunque insieme. Resta da verificare che siano effettivamente topologie:
t3 = {Æ, X, {a}} e t4 = {Æ, X, {b}}.

t3 una topologia, infatti:

X, Æ Î t3 per ipotesi,

Æ È {a} Î t3, Æ È X Î t3, {a} È X Î t3.

Analogamente si dimostra che anche t4 una topologia.

 

 

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 2

t1 non è topologia su X perché {a, b} Ç {b,c} = {b} Ï t1;

t2 è una topologia: infatti Æ, X Î t2 e si verifica come nell'esercizio precedente che l'intersezione di qualunque famiglia di elementi di t2 appartiene a t2 stesso (X è finito) e l'unione di qualunque famiglia di t2 appartiene ancora a t2.

 

 

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 3

e e k sono confrontabili, inoltre risulta k < e.

Infatti gli aperti di k sono tutti della forma R \ {a1, , an} con n finito (l'insieme Æ appartiene ad ogni topologia). Senza ledere la generalità assumiamo che a1 < < an, quindi R \ { a1, , an} si può scrivere:

(-, a1) È (a1, a2) È È (an-1, an) È (an, +)

che è unione di intervalli aperti Þ aperto di e.

Inoltre possiamo affermare che k è strettamente meno fine di e, infatti esistono aperti di e che non sono aperti di k, per esempio l'intervallo aperto (0,1).

 

 


 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 4

Verifichiamo che si tratta di una topologia:

Æ, R Îa,

unione di insiemi simmetrici è un insieme simmetrico,

l'intersezione di insiemi simmetrici è simmetrico.

a e la topologia euclidea non sono confrontabili perché ad esempio [0, 1] è un aperto per la topologia euclidea, ma non è un insieme simmetrico, quindi non è aperto di a ;

d'altra parte {3, -3} Î a, ma non è un aperto della topologia euclidea.

 

 

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 5

Dato l'insieme X = {a, b, c, d}, e siano le topologie

t1 = {X, Æ, {a}, {a, b}}, t2 = {X, Æ, {c}, {b, c, d}}

consideriamo la famiglia t1 È t2 = {X, Æ, {a}, {c}, {a, b}, {b, c, d}}, non si tratta di una topologia su X infatti ad esempio {a} È {c} Ï t1 È t2.