Sia X = {a, b}; sappiamo che una topologia t su X è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di X. Inoltre la topologia discreta t₁ = {Æ, X, {a}, {b}} e la topologia banale t₂ = {Æ, X} sono topologie esistenti su qualunque insieme. Resta da verificare che siano effettivamente topologie:
t₃ = {Æ, X, {a}} e t₄ = {Æ, X, {b}}.

t₃ è una topologia, infatti:

X, Æ Î t₃ per ipotesi,

Æ È {a} Î t₃, Æ È X Î t₃, {a} È X Î t₃.

Analogamente si dimostra che anche t₄ è una topologia.

t₁ non è topologia su X perché {a, b} Ç {b,c} = {b} Ï t₁;

t₂ è una topologia: infatti Æ, X Î t₂ e si verifica come nell'esercizio precedente che l'intersezione di qualunque famiglia di elementi di t₂ appartiene a t₂ stesso (X è finito) e l'unione di qualunque famiglia di t₂ appartiene ancora a t₂.

Infatti gli aperti di k sono tutti della forma R \ {a₁, …, a_n} con n finito (l'insieme Æ appartiene ad ogni topologia). Senza ledere la generalità assumiamo che a₁ < …< a_n, quindi R \ { a₁, …, a_n} si può scrivere:

(-¥, a₁) È (a₁, a₂) È …È (a_n-1, a_n) È (a_n, +¥)

che è unione di intervalli aperti Þ aperto di e.

Inoltre possiamo affermare che k è strettamente meno fine di e, infatti esistono aperti di e che non sono aperti di k, per esempio l'intervallo aperto (0,1).

Verifichiamo che si tratta di una topologia:

Æ, R Îa,

unione di insiemi simmetrici è un insieme simmetrico,

l'intersezione di insiemi simmetrici è simmetrico.

a e la topologia euclidea non sono confrontabili perché ad esempio [0, 1] è un aperto per la topologia euclidea, ma non è un insieme simmetrico, quindi non è aperto di a ;

d'altra parte {3, -3} Î a, ma non è un aperto della topologia euclidea.

Dato l'insieme X = {a, b, c, d}, e siano le topologie

t₁ = {X, Æ, {a}, {a, b}}, t₂ = {X, Æ, {c}, {b, c, d}}

consideriamo la famiglia t₁ È t₂ = {X, Æ, {a}, {c}, {a, b}, {b, c, d}}, non si tratta di una topologia su X infatti ad esempio {a} È {c} Ï t₁ È t₂.