Esercizio 1

Siano X = { a, b, c, d} con la topologia t = {Æ, X, {a, b, c}, {b, c, d}, {d}},
Y = {1,2,3} con la topologia

t' = {Æ, Y, {1,2}, {3}}, e sia f: X ® Y definita da f(a)=f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3.

Determinare se f è continua su X.

 

 

 

Esercizio 2

Siano X e Y definiti come sopra con le rispettive topologie
t = {Æ , X, {a, b}, {c, d}},
t
'=
, Y, {2}, {1,2}, {2,3}},
sia f: X ® Y definita da f(a)=f(b)= f(c)=1, f(d)=2.

Stabilire in quali punti di X l'applicazione f è continua.

 

 

 

Esercizio 3

Siano (X, t) e (Y, t') spazi topologici, con t' topologia discreta. Dimostrare che se f: X® Y è un'applicazione iniettiva e continua, allora anche t è la topologia discreta.

 

 

 

Esercizio 4

X = {a, b, c} con la topologia t = {Æ, X, {a}, {b, c}}, Y = {1,2,3} con la topologia

t ' = {Æ , Y, {1}, {2,3}}, e sia f: X ® Y definita da f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3; determinare se f e la sua inversa sono continue, aperte, chiuse.

 

 

 

Esercizio 5

Consideriamo su R la topologia euclidea e e la topologia cofinita k. Verificare se l'applicazione id: (R, e) ® (R, k) e la sua inversa sono continue, aperte e chiuse.

 

 

 

 

Esercizio 6

Siano f1 e f2 le applicazioni di (R, e) in se stesso così definite:

f1(x) = 0 per x 0, f1(x) = 1 per x>0;

f2(x) = 0 per x<0, f2(x) = 1 per x 0.

Tali applicazioni sono continue? Se non lo sono, è possibile introdurre per ogni fi una topologia sul codominio che renda tale applicazione continua?

 

 

 

Esercizio 7

Su X = {a, b, c} si considerino le topologie t = {Æ, X, {b, c}} e

t ' = {Æ, X, {a, b}, {b, c}, {b}} e sia

f: (X, t ) ® (X, t') un'applicazione definita

f(a) = a, f(b) =b, f(c) = b.

Determinare se f è continua, aperta, chiusa.

 

 

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