Risoluzione dell'Esercizio 1

f è continua su tutto X, infatti vediamo che la controimmagine di ogni aperto di Y è un aperto di X:

f - 1 ({1,2}) = {a, b, c},

f - 1 ({3}) = {d},

f - 1 (Æ ) =Æ ,

f - 1 (Y) = X.

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 2

Verifichiamo la continuità in a:

si deve dimostrare che per ogni intorno V di 1 = f(a), esiste un intorno U di a tale che f(U) = V. Ora gli intorni di 1 in Y sono {1,2} e Y, se V = {1,2} si può prendere come U l'intorno {a, b}, mentre se V = Y si può prendere come U lo stesso intorno {a, b}; quindi f risulta continua in a.

Analogamente si prova la continuità in b.

Verifichiamo la continuità in c:

Gli intorni di 1= f(c) in Y sono sempre {1,2} e Y, poiché l'intorno {c, d} di c è tale che f({c, d}) Í {1,2} e f({c, d}) Í Y si conclude che f è continua anche in c.

Invece f non è continua in d, infatti {2} è un intorno di 2 = f(d) tale che non esiste alcun intorno U di d con f(U) Í {2}.

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 3

Assumo per assurdo che esista un sottoinsieme A di X che non è aperto di X. f(A) Í Y Þ f(A) aperto di Y (perché Y ha topologia discreta), ma f - 1 (f(A)) è aperto di X, perché f è continua. Inoltre f è iniettiva, quindi f - 1 (f(A)) = A.

 

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 4

Verifichiamo se f è continua:

f - 1 ({1}) = {a},

f - 1 ({2,3}) = {b, c}, quindi f è continua.

Verifichiamo se f - 1 è continua:

f({a}) ={1},

f({b, c)} = {1,2}, quindi f - 1 è continua.

f continua Þ f - 1 aperta e chiusa.

f - 1 continua Þ f aperta e chiusa.

 

 

 


 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 5

Sappiamo che k < e, quindi ogni aperto di k è anche aperto di e, non vale il viceversa, cioè esistono aperti della topologia euclidea che non sono aperti per la topologia cofinita. Daltra parte esistono anche chiusi di e che non sono chiusi di k (per esempio [0,1]). Quindi si può dedurre che id è continua, ma non aperta e non chiusa.

Con ragionamento analogo risulta che id - 1 è aperta e chiusa, ma non continua.

 

 


 

 

Risoluzione all'Esercizio 6

(0, + ) è un aperto di R, ma f1 -1((0, +))=1 che non è aperto in R Þ f1 non è continua.

(-, 0) è un aperto di R, ma f2 -1((-, 0))=0 che non è aperto in R Þ f2 non è continua.

Se si considera il codominio con la topologia discreta, le applicazioni fi risultano continue.

 

 

 


 

 

 

Risoluzione all'Esercizio 7

f è continua perché f - 1 ({a, b}) = {a, b},

f è aperta perché l'immagine di ogni aperto di t è aperto di t',

f è chiusa perché l'immagine di ogni chiuso di t è chiuso di t'.