1. Si provi che ogni omeomorfismo f: I ® I dell’intervallo euclideo reale chiuso I = [0,1] su se stesso, possiede almeno un punto fisso.
2. Si faccia vedere che l’enunciato (a) non è più vero, se si considerano gli omeomorfismi dell’intervallo euclideo reale aperto (0,1) su se stesso: in altri termini, di dia un esempio di omeomorfismo g: (0,1) ® (0,1) tale che nessun punto x Î (0,1) sia fisso.

Dimostrare che un insieme X (non vuoto) con la topologia cofinita k è connesso se e solo se è infinito o costituito da un unico elemento.

Si dimostri che uno spazio topologico X è connesso se e solo se per ogni sottoinsieme proprio non vuoto S di X si ha Fr(S) ¹ Æ..

Sia a un numero reale e sia H la famiglia di tutti i sottoinsiemi di R contenenti a.

1. Si provi che t = H È {Æ} è una topologia su R.
2. Si stabilisca se (R, t) è connesso.

Sia X uno spazio topologico. Si consideri su A = {1, 2} la topologia discreta.

1. Dimostrare che se X è connesso, allora ogni applicazione continua f: X® A è costante.
2. Dimostrare che se ogni applicazione continua f: X ® A è costante, allora X è connesso.

Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di (R², e) sono omeomorfi tra loro:

X₁ = unione di due circonferenze tangenti internamente;

X₂ = unione di due circonferenze tangenti esternamente;

X₃ = unione di due circonferenze secanti;

X₄ = unione di due circonferenze prive di punti in comune;

X₅ = unione di una circonferenza e di un suo diametro.