Risoluzione dell'Esercizio 1

  1. Osserviamo in primo luogo che si ha necessariamente f(0)=0, f(1)=1 oppure f(0)=1, f(1)=0, perché I \ {0} e I \ {1} sono connessi, quindi I \ {f(0)} e I \ {f(1)} devono essere ancora connessi. Nel primo caso ci sono almeno due punti fissi, nel secondo caso, si consideri l’applicazione continua h: I ® R definita da h(x) = f(x)-x. Poiché risulta h(0) = 1 ed h(1) = -1, esiste almeno un punto x0 dell’intervallo I, tale che h(x0) = 0. Per costruzione x0 è punto fisso per f.

  2. f(x) = x2 nell'intervallo (0,1) non ha punti fissi, è inoltre semplice vedere che si tratta di un omeomorfismo.

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 2

Se X è finito, la topologia cofinita coincide con la topologia discreta Þ X è connesso se è costituito da un solo elemento.

Se X è infinito, basta provare che due qualunque aperti non vuoti di X hanno intersezione non vuota, infatti se U, V fossero aperti non vuoti di X con
UÇV = Æ Þ
(X \ U) È (X \ V) = X \ (UÇV) = X, ma X \ U ed X \ V hanno un numero finito di elementi mentre X è stato supposto infinito.

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 3

Dall'osservazione 5.2 si ha X = Int(S) È Est(S) È Fr(S) (unione disgiunta) per ogni sottoinsieme S di X.

Fr(S) = Æ Û X = Int(S) È Est(S) (unione disgiunta di due aperti non vuoti) Û X sconnesso.

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 4

  1. E' facile vedere che l'unione di insiemi che contengono a, contiene ancora a e questo vale anche per l'intersezione.

  2. Assumiamo per assurdo che (R, t ) è sconnesso, allora esistono due aperti A e B la cui unione è R e la cui intersezione è il vuoto, ma entrambi contengono almeno il numero a, quindi la loro intersezione è diversa dal vuoto.

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 5

  1. Se X è connesso allora f(X) è connesso, ma le componenti connesse di A sono {1} e {2} , quindi deve essere: f(X) = 1 oppure f(X) = 2 .

  2. {1} e {2} sono aperti e chiusi di A, allora per ogni applicazione continua f: X ® A si ha che f -1(1) ed f -1(2) sono aperti e chiusi in X.

Ma ogni f continua è costante, quindi vale f -1(1) = X oppure f -1(2) = X.

Quindi l'unico sottoinsieme non vuoto di X che sia aperto e chiuso è X stesso Þ X è connesso.

 

 

 

 

Risoluzione dell'Esercizio 6

L'insieme X4 non è omeomorfo a nessuno degli altri insiemi perché X4 è sconnesso, mentre gli altri sono tutti connessi.

X1 e X2 non sono omeomorfi ad X3 perché un punto sconnette X1 e X2, mentre due punti sconnettono X3.

Per lo stesso motivo, X1 e X2 non sono omeomorfi ad X5.

X1 è omeomorfo ad X2.

X3 è omeomorfo ad X5.