Asintoti della funzione

Asintoti della funzione f

DEFINIZIONE: Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione f tende a 0 per x

(asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è discontinua (asintoti verticali).

Possiamo classificare tre tipi di asintoti:

ASINTOTI VERTICALI	Si dice che la retta x = c è un asintoto verticale per la funzione f se c'è un punto singolare in cui si abbia: f(x) = ± oppure f(x) = ± In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione x = c ed è il valore c (se esiste) ciò che dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali). Si dice che l'asintoto è pari se lim f(x)=± per x che tende a c sia da sx che da dx, e dispari se i limiti sono discordi.
ASINTOTI ORIZZONTALI	Si dice che la retta y=l è un asintoto orizzontale per la funzione f se si verifica una almeno delle seguenti condizioni: f(x) = l oppure f(x) = l Ove l è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=l ed in questo caso è il numero l quel che dobbiamo determinare.
ASINTOTI OBLIQUI	Se si ha f(x)= ± oppure f(x)= ±, è lecito chiedersi se esista un asintoto obliquo, e cioè se il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y=mx+q (ove m ¹ 0, altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale); naturalmente possiamo avere due diversi asintoti obliqui per x che tende a più o meno infinito. Quindi in questo caso dobbiamo determinare (se esistono) i valori m e q. Per determinare m si calcola il limite: . Se tale limite esiste ed è finito, ci dà il valore di m; si procede allora a calcolare q effettuando il limite f(x) - mx . Di nuovo, se tale limite esiste ed è finito, esso ci dà il valore di q. e quindi l'asintoto obliquo esiste per x che tende a più infinito ed ha equazione y=mx+q . Lo stesso tipo di analisi va compiuto per x che tende a meno infinito.

OSSERVAZIONE 1 :	Ci possono essere tanti asintoti verticali, ma al massimo due tra orizzontali e obliqui. Dopo averli trovatoasintoti verticali o obliqui può esser utile calcolare le eventuali intersezioni della curva con essi, risolvendo il sistema composto dall'equazione della curva con quella di ciascun asintoto.
OSSERVAZIONE 2 :	Non bisogna cercare nè asintoti orizzontali nè obliqui se il campo di esistenza è un intervallo limitato.
OSSERVAZIONE 3 :	Se la funzione è razionale intera non ci sono asintoti di alcun tipo.

NOTA: Per la determinazione degli asintoti occorre quindi risolvere dei limiti.

Esempio

Esercizi