Storia delle equazioni

Rinascimento

La storia del rinvenimento della formula risolutiva dell'equazione di terzo grado si sviluppa nella prima metà del 1500. Come tutte le storie, soprattutto quelle in cui sono coinvolte più persone, è piuttosto intricata e difficile da ricostruire. I personaggi sono tutti italiani: Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia e Gerolamo Cardano.

La difficoltà storica di attribuire la paternità di una formula è legata alle motivazioni socio-economiche che spingono questi matematici verso la ricerca scientifica. Da un lato c'è l'urgenza di scoprire le leggi della balistica, dall'altro la bravura di un matematico si misura con sfide pubbliche, delle vere e proprie gare di matematica. Il matematico si comportava in fondo, come l’artigiano-artista, che custodisce

gelosamente i segreti della sua bottega. Perciò, chi aveva una formula, o un metodo per risolvere un problema duro da masticare, non diceva niente a nessuno. Per dimostrare che era più bravo degli altri , quando un matematico era in possesso di una scoperta nuova, inviava un cartello di matematica disfida a qualche famoso lettore.

Naturalmente se lo sfidato gettava la spugna, lo sfidante doveva dare lui la soluzione, altrimenti era squalificato per gioco scorretto.

Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno.

Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo grado; quelli proposti da Fior potevano essere ricondotti tutti all'unico tipo che conosceva di equazione di terzo grado, la cui formula risolutiva gli era stata rivelata dal suo maestro Scipione dal Ferro.

La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questi aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.

L'evento ebbe larga risonanza, e Niccolò Tartaglia fu oggetto di attenzioni da parte di Gerolamo Cardano, che nel marzo del 1539 lo invitò a Milano, dove era introdotto abbastanza bene, e si fece confidare la famosa formula, dietro la promessa che non ne avrebbe parlato ad alcuno. Probabilmente Tartaglia si era mosso da Venezia con la speranza di ottenere una qualche introduzione nel mondo accademico milanese, che invece non arrivò. 

Tartaglia la comunica a Cardano inviando i seguenti versi:

Cardano, con l'aiuto del suo allievo Ludovico Ferrari, approfondì le formule dell'equazione cubica e la migliorò, trovandone una anche per il caso generale. Il Tartaglia non si decideva a pubblicare i suoi risultati; e qualche anno dopo il Cardano, con l'aiuto di Antonio Maria Fior, scoprì da alcune carte che erano in possesso del genero di Dal Ferro che la formula era stata inventata anche da quest'ultimo. Pertanto si ritenne libero dalla promessa fatta al Tartaglia e si decise a comprendere i suoi risultati nella Ars Magna che pubblicò nel 1545, ben sapendo che avrebbe così suscitato le ire di Tartaglia, così come di fatto avvenne.
Nel 1546 infatti Tartaglia pubblicò la sua opera "Quesiti et Inventioni diverse" dove, con parole offensive verso Cardano, denunciava la violazione del giuramento fattogli; il Ferrari, in difesa del suo amico e professore, lanciò il primo cartello di disfida contro Tartaglia, seguito da altri cinque nel giro di due anni. Tartaglia, per le sue difficoltà di parola, intendeva disputare per iscritto, Ferrari invece insisteva per uno scontro verbale e per tenere la disputa a Milano, dove lui poteva contare su amicizie e conoscenze. L'ultimo scontro si concluse il 10 agosto 1548; a Tartaglia non fu permesso di esporre le proprie ragioni.
A quei tempi i numeri irrazionali venivano ormai ammessi; i numeri negativi invece sollevavano maggiori difficoltà. Fin quando si erano studiate solo equazioni di secondo grado, gli algebristi avevano potuto evitare i numeri immaginari semplicemente dicendo che un'equazione del tipo  non era risolvibile. Con l'introduzione delle equazioni di terzo grado, però, la situazione cambiò: ogniqualvolta le tre radici dell'equazione erano reali e diverse da zero, la formula di risoluzione portava a radici quadrate di numeri negativi. E' in questo ambito che entra in scena un altro algebrista italiano, Rafael Bombelli.
L'Algebra di Bombelli diede un importante contributo agli studi sui numeri complessi: infatti fu il primo a spiegare come calcolare i numeri negativi.

Scrisse:

Plus times plus makes plus
Minus times minus makes plus
Plus times minus makes minus
Minus times plus makes minus
Plus 8 times plus 8 makes plus 64
Minus 5 times minus 6 makes plus 30
Minus 4 times plus 5 makes minus 20
Plus 5 times minus 4 makes minus 20

Nell'algebra di Bombelli c'è la prova geometrica che “minus time minus make plus”; Bombelli stesso non trovava facile lavorare con i numeri complessi, tanto che scrisse:
Bombelli fu la prima persona a scrivere le regole dei numeri complessi riguardanti l'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione.
Scrisse +√-n come “plus of minus”, -√-n come “meno di meno”, definendo le regole generali:

Plus of minus times plus of minus makes minus [+√-n . +√-n = -n]
Plus of minus times minus of minus makes plus [+√-n . -√-n = +n]
Minus of minus times plus of minus makes plus [-√-n . +√-n = +n]
Minus of minus times minus of minus makes minus [-√-n . -√-n = -n]

Dopo questa spiegazione dei numeri complessi, Bombelli diede le regole per sommarli e sottrarli. 

La formula di tartaglia-cardano

La formula generale data da Cardano è la seguente:

Applichiamo il procedimento suggerito da Tartaglia per risolvere il problema di Fior, partiamo dall’equazione:

x³ + x = -8

applicando il procedimento di Tartaglia si ha:

u – v = 8         (1)

u ∙ v = 1/27     (2)

sostituendo la (1) nella (2) si ottiene:

(-8 + v = 1/27)

da cui:

27v² + 216v – 1 = 0

Applicando la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado si ha:

la radice positiva è:

Conseguentemente:

Infine:

In realtà questa formula dà 9 valori di x, poiché ognuno dei radicali cubici ha 3 valori. Fra questi 9 valori occorre però scegliere quelli che soddisfano alla condizione:

u ∙ v = p / 3