Storia delle equazioni

Egizi



Il livello della matematica egiziana ha permesso di osservare una fase di sviluppo iniziale della matematica. Nei grandi papiri matematici (1900 – 1600 a.C.) si trovano molti problemi di tipologie diverse, cioè classificabili come problemi geometrici, aritmetici e anche algebrici.


Si riconoscono alcuni problemi che «non riguardano oggetti concreti specifici, come il pane e la birra, né richiedono operazioni da eseguirsi su numeri noti. Essi chiedono, invece, di trovare l’equivalente di soluzioni di equazioni lineari della forma x + ax = b, oppure x + ax + bx = c, dove a, b e c sono noti mentre x non lo è. L’incognita viene indicata con il termina “aha” o mucchio».


Il problema aha

Il problema 19 del Papiro di Mosca

HTML.it
(papiro di Mosca)

è un esempio di problema aha, nome con cui gli egiziani indicavano un “mucchio”, un “cumulo”, una quantità non conosciuta, incognita.


«Metodo per calcolare un mucchio (1+1/2) volte [questo mucchio] con 4 è diventato 10. Quanto è questo mucchio?

Calcola tu l’eccesso di questo 10 sopra questo 4, è 6. Risulta 4. Ecco, è 4; tu l’hai trovato correttamente»


Si tratta dell’equazione:

( 1 + 1/2 ) x + 4 = 10



La falsa posizione

I primi esempi di risoluzione di tali problemi (raccolti numerosi nel Papiro di Rhind) riguardano l’equivalente della risoluzione di “equazioni di primo grado. Oltre al testo del problema, all’incognita che viene indicata, si conoscono i procedimenti per la risoluzione. La soluzione è lontana da quella che si trova in manuali moderni, ma è al tempo stesso vicina a quello che oggi è chiamato “metodo di falsa posizione(o regola del falso).


Esempio


Problema

"Se sommiamo ad una quantità la sua settima parte, otteniamo 19. Quant’è la quantità?"

In notazione moderna il problema è equivalente alla risoluzione dell’equazione



Il metodo di risoluzione egizio, denominato di falsa posizione, consiste nell’attribuire all’incognita a primo membro il valore iniziale 7, determinando come valore conseguente a secondo membro il valore



L’argomentazione procede ipotizzando che se un certo "multiplo" di 8 dà 19, allora lo stesso "multiplo" di 7 darà il numero richiesto.

La soluzione del problema si potrà quindi determinare risolvendo la proporzione


8 : 19 = 7 : x


da cui



Sono evidenti , anche senza una “consapevolezza algebrica”, i segni delle prime tappe dell’algebra delle equazioni , sostenute e nascoste dallo sviluppo dell’aritmetica e di una buona conoscenza/capacità nei calcoli.


Molti dei calcoli aha contenuti nel Papiro di Rhind erano evidentemente esercizi pratici per giovani studenti. Sebbene gran parte di essi sia di natura pratica, in alcuni casi sembra che lo scriba avesse in mente indovinelli o giochetti matematici.” (C.B.Boyer)



Seppure la maggioranza dei problemi egizi corrisponde ad equazioni lineari, non mancano esempi di risoluzione di equazioni non lineari di secondo grado. Si tratta anche qui di casi particolari. Il Papiro di Berlino propone un sistema di secondo grado in due incognite. Ancora una volta la capacità aritmetica e la conoscenza di metodi risolutivi permette di determinare le soluzioni; la strada è quella della falsa posizione. Come per matematiche future, gli Egiziani arrivano facilmente a problemi di secondo grado: dalle misure, o lunghezze, si passa a doppie misure e superfici.


Gli egizi applicavano il metodo della falsa posizione per trovare la soluzione di equazioni quadratiche semplici. I primi metodi di risoluzione per equazioni di secondo grado complete, in cui cioè compare anche il termine lineare nella variabile x, come x2 - 5x = 6, si trovano in testi matematici babilonesi risalenti al 2000 a.C.