Storia delle equazioni

Babilonesi

Un passaggio importante e riconosciuto nelle origini dell’algebra è scritto dalla matematica babilonese. Sull’esempio dei problemi egiziani, anche per l’esperienza dei Babilonesi è più corretto parlare di risoluzioni algebriche.

“Sarebbe azzardato affermare che una forma sufficientemente progredita di algebra nacque tra il Tigri e l’Eufrate, almeno se consideriamo la necessità di una espressione simbolica delle tecniche algebriche”.(G.T.Bagni)

(tavoletta babilonese)

Tuttavia va ricordato il livello raggiunto dall’algebra in Mesopotamia: molto più alto di quello d’Egitto. I Babilonesi erano capaci di risolvere equazioni e sistemi di equazioni di grado superiore al primo e al secondo…

Le abilità: tabulazioni, calcoli, problemi ed incognite

I documenti più significativi delle abilità matematiche dei Babilonesi sono delle tavolette in terracotta, in scrittura cuneiforme, nelle quali si trovano molte raccolte di calcoli aritmetici e la descrizione di algoritmi e problemi aritmetici e geometrici.

Interessante una tabulazione dei valori di n³ + n² per valori interi di n. Questa tabella raccoglie le informazioni numeriche grazie alle quali si risolvevano equazioni di terzo grado.

Tra le abilità: - trasposizione di termini di un’equazione- rimuovere frazioni, eliminare fattori- forme semplici, notevoli, fattori comuni

Avevano il concetto di incognita, per cui non usavano lettere ma parole come “lunghezza”, “area”, “ volume”.

(tavoletta babilonese)

La risoluzione

Come mostra la loro natura i problemi, le incognite, i calcoli e le soluzioni avevano un forte significato pratico, la loro risoluzione tramite equazioni o sistemi di equazioni aveva un forte significato utilitario. Ma è del tutto possibile che la trattazione di tutto avesse in realtà un senso molto astratto. I Babilonesi, infatti, sapevano trattare insieme lunghezze, superfici e volumi, facendo perdere di significato concreto le loro incognite: “tali problemi, presi alla lettera, non potevano avere alcuna applicazione pratica nella misurazione”(G.T.Bagni).

Tra i metodi: la falsa posizione, i calcoli, la soluzione geometrica.

Il terzo grado

Nelle tavolette babilonesi si trovano parecchi esempi di equazioni cubiche. Venivano risolte consultando le tavole dei cubi e delle radici cubiche, calcate su una gamma di valori interi, per così dire notevoli. Se non si trovava il valore atteso si ricorreva ad approssimazioni. Interessante è notare l’esistenza di una forma “normale” babilonese

x³ + x² = 4,12

risolta usando le tabulazioni di n³ + n² . A tale forma veniva ricondotta ogni equazione cubica della forma

ax³ + bx² = c.

L’algebra babilonese raggiunge così uno straordinario livello “di astrazione”; anche le equazioni di grado superiore al terzo potevano essere risolte… sono alcune equazioni particolare, come equazioni di quarto, ottavo grado

ax⁴ + bx² = c e ax⁸ + b x⁴ = c

che venivano riconosciute come equazioni di secondo grado in x² e x⁴.

“I risultati algebrici raggiunti dai babilonesi sono ammirevoli, ma le motivazioni che stanno alla base delle loro ricerche non sono facilmente percepibili. Si è comunemente supposto che virtualmente tutta la scienza e la matematica pre-elleniche fossero premente utilitaristiche.”(C.B.Boyer)

Ma dalle osservazioni sugli stessi passaggi algebrici nelle risoluzioni si nota come la natura pratica dei problemi perde significato. Oltre a contare e misurare “i popoli più antichi sapevano in realtà risolvere problemi che […] sono pensabili come problemi algebrici.”(R. Franci – L.Toti Rigatelli)Ancora, lo storico Silvio Maracchia vede nelle civilità pre-elleniche un “promettente sviluppo autonomo dell’algebra”, a breve “subordinato alla più potente geometria”.