Storia delle equazioni

Greci

 

Nelle civiltà ellenica ed ellenistica, infatti, forse perché alcuni problemi che l’aritmetica non era riuscita a

risolvere erano stati risolti dalla geometria assai semplicemente, o forse per l’evidenza e la bellezza maggiori con cui questa colpiva la mentalità apollinea dei Greci, l’algebra si può dire che scompaia, rivestita da orpelli e fronzoli geometrici che, se pur conservano la risoluzione di semplici problemi di primo e secondo grado, non ne permisero uno sviluppo successivo”(S.Maracchia).

 

I calcoli di Pitagora, produssero un piccolo sisma nella cultura del mondo greco. Proprio nella matematica greca si era affermata la teoria pitagorica, secondo la quale ogni cosa poteva essere rappresentata da numeri naturali o da rapporti fra numeri naturali.

Diofanto di Alessandria, matematico greco (noto come il padre dell’algebra), si dedicò allo studio di equazioni per le quali si cercavano come soluzioni soltanto numeri interi. Diofanto si interessò soprattutto alle equazioni indeterminate, le quali prendono il nome di equazioni Diofantee; un esempio di queste equazioni è la seguente:

ax+by=c, a,b,c numeri naturali

Questo tipo di equazioni ammettono un numero finito di soluzioni e si dimostra che se c è divisibile per il massimo comun divisore (MCD) tra a e b, l’equazione è risolubile ed ha soluzioni intere.

Grande fu lo sgomento dei pitagorici, quando si accorsero che il rapporto fra la diagonale e il lato di un quadrato non può essere espresso da un numero intero né da un quoziente tra due numeri interi.

A questi inquietanti rapporti i matematici greci associarono il termine alfa, lambda, omega, gamma, omicron, sigma, ecc...

Infatti i termini letterali non erano usati dai Greci; cominciò proprio Diofanto a introdurre alcuni simboli per rappresentare gli operatori aritmetici più comuni, prendendoli a prestito dall’alfabeto greco.

Ciò favorì la separazione dell’aritmetica dalla geometria, alla quale venne riservata la trattazione delle grandezze incommensurabili, e fece della geometria la base di quasi tutta la matematica rigorosa per circa duemila anni.

Nella cultura greca, infatti, i problemi numerici non erano ritenuti importanti poiché di natura applicativa: la vera Matematica era la Geometria.

 

Diofanto e l’Aritmetica

Vissuto tra il 250 e il 350 a.C. , il matematico greco “padre” dell’algebra Diofanto da Alessandria rappresenta il passaggio fondamentale dall’algebra inconsapevole babilonese verso una disciplina vera della scienza matematica. Si tratta di un ruolo primario nello sviluppo di una notazione algebrica.

L’opera principale di Diofanto è L’Aritmetica. Si tratta di una raccolta in 13 libri di problemi di vasto ed originale genere.
In questa opera è presentata essenzialmente una nuova branca matematica. Per il fatto che in essa non compaiono metodi geometrici, assomiglia in larga misura all'algebra dei babilonesi; tuttavia mentre i matematici babilonesi si erano interessati prevalentemente della soluzione approssimata di equazioni determinate fino al terzo grado, l'Arithmetica di Diofanto è quasi esclusivamente dedicata alla soluzione esatta di equazioni sia determinate che indeterminate.
Per il rilievo che viene dato nell'Arithmetica alla soluzione di problemi indeterminati, la disciplina che tratta questo argomento, noto anche come analisi indeterminata, ha ricevuto il nome di "analisi diofantea".
In ogni parte dei sei libri dell'Arithmetica che sono pervenuti si fa uso sistematico di abbreviazioni per indicare potenze di numeri e per esprimere relazioni e operazioni.
Diofanto era a conoscenza delle regole di combinazione equivalenti alle nostre regole per gli esponenti e possedeva termini specifici per indicare i reciproci delle prime sei potenze dell'incognita, quantità equivalenti alle nostre potenze negative. I coefficienti numerici venivano scritti dopo i simboli indicanti le potenze con le quali essi erano associati; l'addizione di termini veniva rappresentata mediante l'appropriata giustapposizione dei simboli indicanti i termini e la sottrazione da una lettera collocata davanti ai termini da sottrarre. Mediante tale notazione Diofanto era in grado di scrivere polinomi a una incognita in forma quasi altrettanto concisa di quella che usiamo oggi.
Se pensiamo soprattutto alla notazione, Diofanto ha buone ragioni per essere riconosciuto il "padre dell'algebra"; dal punto di vista delle motivazioni e dei concetti, però, tale pretesa è meno giustificata. L'Arithmetica non è un'esposizione sistematica di operazioni o funzioni algebriche o della soluzione di equazioni algebriche. Consiste invece in una raccolta di 150 problemi, tutti formulati in termini di esempi numerici specifici, anche se intendevano esemplificare un metodo generale. Non vi è uno sviluppo a partire da postulati, né viene fatto alcuno sforzo per trovare tutte le soluzioni possibili. Nel caso di equazioni di secondo grado con due radici positive, viene data solo quella maggiore, mentre non vengono riconosciute radici negative. Non viene fatta alcune netta distinzione tra problemi determinati e problemi indeterminati, e anche in quest'ultimo caso, ove il numero delle soluzioni generalmente è illimitato, viene data una sola soluzione. Diofanto risolveva problemi che comportavano parecchie incognite esprimendo ingegnosamente tutte le quantità incognite in termini di una sola di esse.

n un certo senso l'Arithmetica non è un manuale di algebra, ma una raccolta di problemi di algebra applicata. Sotto questo riguardo, Diofanto è simile agli algebristi babilonesi, e la sua opera viene considerata da alcuni come "il fiore più bello dell'algebra babilonese". Tale caratterizzazione riconosce solo parzialmente a Diofanto i suoi meriti: i suoi numeri, infatti, sono interamente astratti e non si riferiscono a misure di grano o a dimensioni di terreni o a unità monetarie, come avveniva nell'algebra egiziana e mesopotamica. Inoltre egli si interessava solo di soluzioni razionali esatte, mentre i babilonesi avevano una mentalità calcolistica ed erano pronti ad accettare approssimazioni di soluzioni irrazionali di equazioni. Diofanto ha influito sulla moderna teoria dei numeri più di qualsiasi altro algebrista greco che non abbia fatto uso di metodi geometrici.

È riscontrabile un’ideale influenza della matematica babilonese; ma a differenza […] di approssimazioni grossolane e di pesanti errori, i procedimenti e i risultati nelle opere di Diofanto sono esatti ”(G.T.Bagni).