Storia delle equazioni

Arabi

L’algebra è divisa in “algebra classica” (la teoria delle equazioni) e in “algebra moderna” o “astratta” (lo studio dei gruppi, degli anelli e dei campi).

La prima nasce e si sviluppa nel mondo arabo: erroneamente si sostiene che i babilonesi furono i primi a risolvere equazioni del secondo grado. In realtà, essi disponevano di un metodo per risolvere problemi che, con la nostra terminologia, dava luogo a equazioni quadratiche, ma erano molto lontani dal concetto di “equazione”.

Colui che si può chiamare “il padre dell'algebra” è al-Khuwarizmi, matematico e astronomo vissuto nella prima metà dell'800. La sua opera più importante,  “al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabalah”, ha fornito alle lingue moderne un termine d'uso molto popolare: algebra.

È probabile che si sia ispirato alle opere indiane, assieme a quelle persiane e babilonesi: la sua opera appare più un punto d’arrivo, la sistemazione di una materia già esistente, che una creazione originale.

Quest’opera ci è pervenuta in due versioni, una latina e una araba, ma in quella latina (Liber algebrae et almucabola), manca una parte considerevole della versione araba: manca per esempio la prefazione, che nel testo originale aveva un taglio troppo religioso.

Non si sa con certezza quale sia il significato dei termini “al-jabr” e “muqabalah”: il primo, presumibilmente, significava "restaurazione" o “completamento” e si riferiva alla trasposizione dei termini sottratti da un membro all'altro dell'equazione; il secondo significava “riduzione” o “equilibrio” e indicava la cancellazione dei termini simili che compaiono in entrambi i membri di una equazione.

L’Algebra di al-Khuwarizmi era divisa in sei capitoli:

I sei casi presentati esauriscono tutte le possibilità di equazioni lineari e del secondo grado aventi una radice positiva (la radice x = 0 o uguale a valori negativi non veniva riconosciuta).

Al-Khuwarizmi dava la regola per risolvere ogni tipo di equazione, una sorta di formula simile a quella usata oggi:

Al-Khuwarizmi utilizzava un esempio numerico per ogni caso, che risolveva per via geometrica utilizzando il metodo di "completamento del quadrato”.

Egli classifica le equazioni di primo e secondo grado in sei tipi differenti, applica l’algebra a vari tipi di problemi usando le operazioni indicate già dal titolo e si serve di termini tecnici, diversi dagli analoghi usati dai matematici indiani.

Per indicare l’incognita lineare egli usa s’ai o shai cioè “cosa” e “arte della cosa” verrà talvolta indicata l’algebra; ma Khuwarizmi usa anche il termine jidr o gidr, “radice” (da gadr, radice di una pianta) tuttora usata nella nostra algebra.

Per l’incognita al  quadrato, usa il termine mal che vuol dire “censo, possedimento” e diverrà appunto il “censo” nella matematica rinascimentale. In questo modo, al-Khuwarizmi diede inizio a una “mentalità algebrica” che non è l’ultimo dei suoi meriti.

Dà a parole le regole per la risoluzione delle equazioni di secondo grado e le giustifica mediante costruzioni geometriche che sembrano prese direttamente dalle soluzioni babilonesi e, per la prima volta a noi nota, osserva che  particolari equazioni di secondo grado possono anche avere due radici (positive).
Osserviamo questo suo esempio: “Un quadrato e dieci radici dello stesso hanno per somma trentanove dirham (“dirham”, unità semplici, termine noto diremmo noi, derivato forse dal greco “dracma” o dal sanscrito “rupa”).

In altre parole si tratta dell’equazione:

x² + 10x = 39

al- Khuwarizmi afferma: "La soluzione è:

1.  dividi a metà il numero delle radici (il coefficiente del termine di primo grado), che in questo caso dà 5.

2. Moltiplica questo per se stesso: il prodotto è 25.

3. Aggiungilo a 39, ottenendo 64.

4. Ora prendi la radice di questo, che è 8 e

5.  sottrai da questo la metà del numero delle radici, 5;

6.  il resto (la differenza) è 3.

7.  Questa è la radice del quadrato che cercavi e il suo quadrato è 9.

Omar Khayyām

(Nīshāpūr, 18 maggio 1048 – 4 dicembre 1131)

Il nome completo posto nell'intestazione della sua opera maggiore è Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami). L'ultima denominazione significa costruttore di tende, probabile attività di suo padre Ibrāhīm.La sua vita fu fortemente influenzata dagli eventi politici del periodo di instabilità nel quale visse, periodo che vede la invasione della Siria, della Mesopotamia e della Persia da parte dei Turchi Selgiuchidi, vari sconvolgimenti sociali conseguenti, nonché aspri conflitti religiosi. Egli quindi poté dedicarsi agli studi solo nei periodi nei quali riusciva a procurarsi la protezione di un potente. Nonostante le difficoltà del tempo riesce a scrivere vari libri su aritmetica, algebra e musica prima dei venticinque anni. 
Nel 1070 si trasferisce a Samarcanda dove viene protetto dal giurista Abū Tāhir e riesce a scrivere il “Trattato sulla dimostrazione dei problemi di algebra”, il suo libro più importante.
Nel 1073 viene invitato dallo Shah Jalāl al-Dīn Malikshāh il Selgiuchidee (Malik-Shah) (1072-1092) ad Iṣfahān per fondarvi un osservatorio astronomico. Qui per 18 anni guida gli astronomi dell'osservatorio nel conseguimento di risultati di altissima qualità: la compilazione di accurate tavole astronomiche e la riforma del calendario. Questa opera venne conclusa nel 1079 ed in tale anno viene fatta cominciare la cosiddetta èra Jalālī (da Jalāl al-dīn). Il calendario definito risulta sensibilmente superiore a quello giuliano e persino più accurato del ben posteriore calendario gregoriano; la lunghezza prevista per l'anno viene fornita con una incredibile accuratezza. Nel 1092 muore Malik-Shah e si conclude il precedente periodo di tranquillità, mentre il suo grande visir Niẓām al-Mulk viene ucciso dai seguaci della setta ismailita dei cosiddetti "Assassini". I fondi per l'osservatorio vengono a mancare e la riforma del calendario non si realizza con pienezza. Inoltre il lavoro scientifico di Omar Khayyām viene attaccato dai musulmani sunniti, in quanto non conforme alle norme della fede.

Nel 1118 Sanjar, terzogenito di Malik-Shah, si impadronisce dell'intero Impero Selgiuchide e fonda a Merv un centro di studi; Omar Khayyām viene invitato in questo centro e qui potrà ancora concentrarsi sui suoi studi. A partire da un problema geometrico giunge a porsi il problema della soluzione dell'equazione cubica:

x³ + 200x = 20x² + 2000

Di questa equazione trova una soluzione numerica approssimata e stabilisce che questa equazione può essere risolta mediante le coniche ma non è risolvibile facendo uso esclusivamente di riga e compasso, in tal modo anticipando un risultato di 750 anni dopo. Egli inoltre imposta in modo molto generale la problematica della trasformazione dei problemi geometrici in problemi algebrici e della soluzione delle equazioni cubiche. Egli si rende conto che le equazioni cubiche possono avere soluzioni multiple, precedendo i lavori degli algebristi rinascimentali italiani.

Egli si occupa anche del triangolo di Blaise Pascal e dei coefficienti binomiali, seguendo in questo al-Karaji. Affronta anche le difficoltà poste dal V postulato di Euclide e dimostra, inconsapevolmente, alcune proprietà delle geometrie non-euclidee. Studia poi i problemi dei rapporti giungendo a dimostrare l'equivalenza tra uguaglianza dei rapporti secondo Eudosso ed Euclide e quella dovuta ad al-Mahani, basata sulle frazioni continue.

Al di fuori degli ambienti matematici Omar Khayyām è noto prevalentemente per le sue Quartine (Rubayyāt). Circa 100 furono tradotte in inglese da Edward Fitzgerald nel 1859 ed ottennero - malgrado la loro scarsa fedeltà al testo originario - una vasta popolarità che oscurò la sua attività scientifica, nonostante la sua profondità. Questo genere di composizioni era molto diffuso nella letteratura persiana e solo 30 quartine sono a lui attribuite con sicurezza. Vari sono i pareri sulla sua poetica: secondo alcuni i temi sono quelli apparenti, cioè motivi di uno scetticismo legato alla caducità delle cose umane; secondo altri i temi sono mistici e le immagini allegoriche.