e il valore teorico 
:
e 
è definita 
, la distanza euclidea
tra un valore osservato 
e il corrispondente punto sulla retta 
è data da 
si individueranno i due
parametri 
e 
della retta di regressione, la quale minimizza la somma
dei quadrati delle distranze euclidee tra i punti 
della nuvola dei punti
osservati, data dal grafico di dispersione, e i corrispondenti punti della retta
. Più precisamente si dà la seguente
, dove la coppia 
minimizza in 
la funzione di due
variabili 
definita da (19). sono dati da
, 
e è detto coefficiente di regressione.La retta di regressione che meglio si adatta ai dati osservati è dunque data da
Sostituendo le espressioni trovate si ottiene
Osservazione 6. 1. Il coefficiente di regressione, così come 
, è un indice
che misura la dipendenza lineare tra due caratteri, con la differenza che è un indice asimmetrico, cioè assume un valore diverso se si scambia
il ruolo assunto dai due caratteri.
2. Il coefficiente di regressione varia in 
e ha come unità di
misura il rapporto tra le unità di misura di Y e X. Esso indica, a meno
di 
, di quanto varia Y in corrispondenza di una variazione unitaria di
X.
3. 
sempre, quindi il segno di è determinato dal segno di 
.
4. Se X e Y sono statisticamente indipendenti allora =0; tuttavia non
vale il contrario poiché, come si è visto, può annullarsi anche
quando non vale l'indipendenza tra i caratteri. Nel caso =0 la
retta di regressione è parallela all'asse delle ascisse e interseca l'asse
delle ordinate nel punto 
.
5. Tutti i punti del piano che soddisfano il sistema normale appartengono
alla retta di regressione, quindi anche il baricentro 
appartiene a
tale retta, come si può facilmente verificare.
, si può esaminare la relazione 
, per la quale
si ottengono risultati analoghi. In particolare, i parametri che si possono
ottenere con il metodo dei minimi quadrati sono
e 
sono rispettivamente i valori centrali dell'i-esima classe di X e
della j-esima classe di Y.
