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I TRIANGOLI IPERBOLICI

Prima di conoscere i triangoli iperbolici, torniamo un attimo alla geometria euclidea e consideriamo un triangolo qualunque ABC di base BC.

Tracciamo la retta r parallela alla base e passante per A.
Poiché i lati AB e AC tagliano rette parallele, i due angoli evidenziati in rosso e i due angoli in blu sono uguali. [Teorema 29 di Euclide]
Ne segue che la somma dei tre angoli del triangolo è uguale a un angolo piatto.
E' evidente come l'invarianza della somma degli angoli interni di un triangolo discenda da una proprietà delle rette parallele che si fonda sul V postulato di Euclide. Si potrebbe addirittura dimostrare che tale proprietà angolare dei triangoli è perfettamente equivalente al V postulato.
Nella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato e di conseguenza il Teorema 29 di Euclide, non è quindi affatto scontato che gli angoli di un triangolo iperbolico si comportino come quelli di un triangolo euclideo.
 
TEOREMA 14
 
La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180°.

Possiamo disegnarli così:


Cerchiamo di dimostrare questo teorema.
Teniamo innanzitutto presente che in un triangolo la somma di due angoli è minore di un angolo piatto, questo che è un teorema della geometria euclidea resta valido anche in quella iperbolica, non necessita infatti del V postulato per essere dimostrato.
Consideriamo ora la seguente costruzione:


Partiamo dal triangolo iperbolico ABC e congiungiamo A con M, punto medio di CB;
prolunghiamo la mediana AM di un segmento MD = AM e otteniamo il triangolo ABD.
La somma degli angoli interni di ABC è uguale alla somma degli angoli interni di ABD, infatti:

^CAB = ^CAD + ^DAB
^ABD = ^ABC + ^CBD
per costruzione

^ABC + ^BCA + ^CAB =
^ABC + ^CBD + (^CAD + ^ DAB) =
(^ABC + ^CBD) + ^CAD + ^DAB =
^ABD + ^ADB + ^DAB
^ACB = ^CBD
^CAD = ^ADB
poichè i triangoli ACM e MBD sono congruenti (I criterio di congruenza)
Ripetiamo la costruzione congiungendo A con N, punto medio di BD, e prolungando la mediana AN di un segmento NE = AN. Il triangolo ABE così ottenuto ha la somma degli angoli interni uguale a quella di ABC e di ABD.
Ragionando sempre allo stesso modo possiamo costruire infiniti nuovi triangoli la cui somma degli angoli interni sia pari alle precedenti, arrivando ad avere una mediana "infinita" e la misura dell'ampiezza di uno degli angoli del triangolo tendente a 0.
Per il torema della geometria neutrale citato prima, sappiamo che la somma di due angoli di un triangolo non può superare l'ampiezza di 180°; in particolare questo accadrà per l'ultimo triangolo, quello con un angolo tendente a 0.
In questo caso la somma degli angoli interni sarà minore di 180°.
Poichè tutti i triangoli di base AB costruiti secondo il metodo precedente hanno la somma degli angoli interni uguale, possiamo affermare che:
^ACB + ^ABC + ^CAB < 180°
 
COROLLARIO
 
La somma degli angoli di ogni quadrilatero è minore di 360°.

TEOREMA 15
 
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli, allora sono congruenti.

 



Osserviamo che, mentre nella geometria euclidea i criteri di congruenza dei triangoli sono tre (due angoli e un lato, due lati e l'angolo compreso, tre lati), in quella iperbolica ce n'è uno in più.
Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la similitudine.