Tassellazioni
Una tassellazione
regolare è un ricoprimento del piano con poligoni regolari
in modo che ad ogni vertice venga a contatto lo stesso numero
di poligoni.
Le tassellazioni del piano euclideo sono: { 3.6 } nella quale
per ogni vertice si incontrano 6 triangoli equilateri; { 4.4
} nella quale per ogni vertice si incontrano 4 quadrati; e
{ 6.3 } nella quale per ogni vertice si incontrano tre esagoni.
La notazione { p.q } è denominata un simbolo
di Schläfli e significa che ci sono q poligoni
regolari di p lati che si incontrano per ogni vertice.
Esistono molte tassellazioni regolari del piano iperbolico.
E' possibile determinare se { N , K } è una
tassellazione del piano euclideo, del piano iperbolico, o
del piano ellittico guardando la somma 1/N + 1/K
.
- Se la somma è uguale 1/2, come accade per le tre
tassellazioni citate precedentemente, allora { N , K
} è una tassellazione euclidea.
- Se la somma è minore di 1/2, allora la tassellazione
è iperbolica.
- Se la somma è maggiore di 1/2, allora la tassellazione
è ellittica.
Potreste chiedervi perché.
Per un tassellazione { N , K }, ci sono K
poligoni regolari di N lati ad ogni vertice.
Così l'angolo ad ogni vertice è 360°/K.
Poiché un poligono regolare di N lati ha N
angoli uguali, ciascuno di 360°/K , allora la
somma degli angoli di un poligono è N 360°/K
.
Ora, nel piano euclideo un triangolo ha esattamente la somma
degli angoli interni pari a 180°; nel piano iperbolico
minore; e nel piano ellittico maggiore.
Dividendo un poligono in triangoli si può immediatamente
vedere che la somma degli angoli di un poligono regolare di
N lati è esattamente pari a (N -
2)180° nel piano euclideo; minore in quello iperbolico;
maggiore in quello ellittico. Di conseguenza, se N
360°/K è uguale a (N - 2)180°,
allora
{ N , K } può soltanto essere euclidea; se
è minore, iperbolica; e se è maggiore, ellittica.
N 360°/K
= (N - 2)180° dividiamo per 360°
N/K = (N - 2)/2
N/K = N/2 - 1 moltiplichiamo per 1/N
1/K = 1/2 - 1/N
ovvero 1/N + 1/K = 1/2
Ecco perché se 1/N + 1/K è uguale 1/2,
allora { N , K } può soltanto essere euclideo;
se minore, iperbolica; e se maggiore, ellittica.
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