z:
- z ≠ 1:

- $z=1$:

$$S_{\mathrm{_n}}=n+1$$

Quindi per $z$=1 se considero il questo vale ∞ e cioè la serie diverge per z=1
Per z ≠ 1 invece S_n è convergente ⇔ ; distinguiamo quindi 3 casi al variare di $\left|z\right|$:

(1) |z|<|zⁿ| = |z|ⁿ → 0 per $n\to \infty$ e quindi ∃

(2)|z|>1|zⁿ| = |z|ⁿ →∞ per $n\to \infty$ e quindi la serie diverge.

(3) |z|=1 e z ≠ 1 supponiamo per assurdo che ∃ ma allora ; cioè α=zα

Quindi le ipotesi sono 2: o z=1 e questo è assurdo per ipotesi, oppure α=0, ma se vale questo allora

per quanto visto all’inizio, e questo è assurdo.

Quindi in questo caso la serie non converge. □