Proposizione 1   La componente connessa dell'elemento neutro di un gruppo topologico $G$ è un sottogruppo normale.

Dimostrazione
Sia $K$ la componente connessa di $1$ e sia $a\in K$. L'insieme $Ka^{-1}=R_{a^{-1}}(K)$ è connesso essendo $R_{a^{-1}}$ un omeomorfismo, e contiene $1$; allora $Ka^{-1}\subset K$, $\forall a\in K$. Da ciò segue che $KK^{-1}\subset K$, cioè $K$ è un sottogruppo di $G$.
Inoltre $\forall b\in G$, essendo l'applicazione $R_{b^{-1}}\circ L_{b}$ un omeomorfismo, l'insieme $bKb^{-1}=R_{b^{-1}}\circ L_{b}(K)$ è connesso e contiene $1$; allora $bKb^{-1}\subset K$, $\forall b\in G$, cioè $K$ è normale.

Definizione 2   Sia $G$ un gruppo topologico, e sia $K$ la componente connessa di $1$; il gruppo topologico quoziente $G/K$è detto gruppo delle componenti connesse di $G$, e i suoi elementi sono le componenti connesse di $G$ (infatti se $a\in G$, $aK$ è un connesso massimale contenente $a$).

Proposizione 3   Se $G$ è un gruppo topologico localmente connesso (cioè $\forall x \in G$, ogni intorno di $x$contiene un intorno di $x$ connesso), il gruppo delle componenti connesse di $G$, è discreto.

Dimostrazione
Sia $K$ la componente connessa di $1$. Sia $V$ un intorno di $1$ connesso; sia $U$ un aperto di $G$ tale che $1\in U\subset V$. Allora $U\subset V\subset K$, e se $\pi$ è la proiezione di $G$ su $G/K$, $\pi(U)=[1]$ è aperto essendo $\pi$ aperta.
Allora ogni punto di $G/K$è aperto in quanto immagine di$[1]$ rispetto ad una traslazione di $G/K$.

Proposizione 4   Sia $G$ un gruppo topologico e sia $H$ un suo sottogruppo. Se $H$ e lo spazio omogeneo $G/\mathcal{H}$ sono connessi anche $G$ è connesso.

Dimostrazione
Sia $G=A\cup B$ con $A$ e $B$aperti non vuoti. Proviamo che $A\cap B=\emptyset$.
Se $\pi$ è la proiezione di $G$ su $G/\mathcal{H}$, $\pi(A)$ e $\pi(B)$ sono aperti di $G/\mathcal{H}$ non vuoti e poiché $G/\mathcal{H}=\pi(A)\cup \pi(B)$ è connesso, $\pi(A)\cap \pi(B)\not=\emptyset$.
Sia $[a]\in \pi(A)\cap\pi(B)$. Si ha $aH\cap A\not=\emptyset$ e $aH\cap B\not=\emptyset$. Allora essendo $aH$ connesso e valendo $aH=(aH\cap A)\cup(aH\cap B)$, i due aperti di $aH$, $aH\cap A$ e $aH\cap B$, hanno intersezione non vuota, cioè esiste un elemento $c$ che sta sia in $A$ che in $B$.


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