Soluzione

a)

$\varphi(f_{a,b}\circ f_{c,d})=\varphi(f_{ac,ad+b})=ac=\varphi(f_{a,b})\varphi(f_{c,d})$ , $\forall f_{a,b},f_{c,d}\in Aff(\mathbb{R} )$ , cioè $\varphi$ è un omomorfismo.

b)

Si ha:

$\begin{displaymath}\ker \varphi=\{f_{a,b}\in Aff(\mathbb{R} )\vert\,a=1\}=\{f_{1,b}\in Aff(\mathbb{R}\}=N,\end{displaymath}$

cioè

è un sottogruppo normale di $Aff(\mathbb{R} )$ .

c)

Inoltre, essendo $Im\varphi=\mathbb{R} ^{*}$ , per il teorema fondamentale di omomorfismo, $Aff(\mathbb{R} )/N\simeq \mathbb{R} ^{*}$ .