Soluzione
Verifichiamo le condizioni della definizione di sottogruppo:

$f_{1,0}=id_{\mathbb{R} }$ ;
se $f_{a,b},f_{c,d}\in Aff(\mathbb{R} )$ , $f_{a,b}\circ f_{c,d}(x)=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)$ e $ac\neq 0$ , cioè $f_{a,b}\circ f_{c,d}\in Aff(\mathbb{R} )$ ;
se $f_{a,b}\in Aff(\mathbb{R} )$ , $(f_{a,b})^{-1}=f_{\frac{1}{a},-\frac{b}{a}}\in Aff(\mathbb{R} )$ .

Inoltre l'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\psi:&Aff(\mathbb{R} )&\longrightarrow&G\\ &f_{a,b}&\longmapsto&(a,b).\end{array}\end{displaymath}$

è biunivoca ed è un omomorfismo in quanto si ha

$\begin{displaymath}\psi(f_{a,b}\circ f_{c,d})=\psi(f_{ac,ad+b})=(ac,ad+b)=(a,b)\cdot (c,d)=\psi(f_{a,b})\cdot \psi(f_{c,d}),\end{displaymath}$

$\forall f_{a,b},f_{c,d}\in Aff(\mathbb{R} )$ , cioè $\psi$ è un isomorfismo di $Aff(\mathbb{R} )$ in