Soluzione
Osserviamo innanzitutto che il prodotto è interno a

, poichè $ac\neq 0$ , essendo $a\neq 0$ e .

$c\neq 0$
Verifichiamo ora che sono soddisfatte le tre condizioni della definizione di gruppo:

il prodotto è associativo:

$\begin{eqnarraystar}(a,b)\cdot [(c,d)\cdot (e,f)]&=&(a,b)\cdot (ce,cf+d)=\\ &=&(ace,a(cf+d)+b)=\\ &=&(ace,acf+ad+b)\end{eqnarraystar}$

e

$\begin{eqnarraystar}[(a,b)\cdot(c,d)]\cdot (e,f)&=&(ac,ad+b)\cdot (e,f)=\\ &=&(ace,acf+ad+b),\end{eqnarraystar}$

cioè $(a,b)\cdot[(c,d)\cdot(e,f)]=[(a,b)\cdot(c,d)]\cdot(e,f)$ ;
è l'elemento neutro:
$\forall (a,b)\in G$ , $(a,b)\cdot (1,0)=(a\cdot 1,a\cdot0+b)=(a,b)$ e $(1,0)\cdot(a,b)=(1\cdot a,1\cdot b+0)=(a,b)$ ;
$\forall (a,b)\in G$ , $((a,b))^{-1}=(1/a,-b/a)$ ; infatti $(a,b)\cdot (1/a,-b/a)=(1,-b+b)=(1,0)$ e $(1/a,-b/a)\cdot (a,b)=(1,b/a-b/a)=(1,0)$ . Allora $((a,b))^{-1}\in G$ .