Definizione 1   Un gruppo di trasformazioni è un sottogruppo di $S(X)$, dove $X$ è un insieme non vuoto.

Definizione-Proposizione 2   Sia $G$ un gruppo. Per ogni $a\in G$ denotiamo con $L_{a}$ la traslazione sinistra di $G$ definita da $a$, cioè l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} L_{a}&G&\longrightarrow &G\\ &x &\longmapsto &ax,\end{array}\end{displaymath}

e con $R_{a}$ la traslazione destra di $G$ definita da $a$, cioè l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} R_{a}&G&\longrightarrow &G\\ &x &\longmapsto &xa.\end{array}\end{displaymath}

Gli insiemi

\begin{displaymath}\mathcal{L}=\{L_{a},\;a\in G\} \mbox{ e } \mathcal{R}=\{R_{a},\;a\in G\}\end{displaymath}

sono sottogruppi di $S(G)$ e quindi sono gruppi di trasformazione.

Dimostrazione
Vediamolo per $\mathcal{L}$:

$-$
proviamo innanzi tutto che $L_{a}$ è biunivoca: $L_{a}$ è iniettiva in quanto se $L_{a}(x)=L_{a}(y)$, cioè se $ax=ay$, per la legge di cancellazione in $G$ si ha $x=y$; per provare la suriettività di $L_{a}$, consideriamo un elemento $x$ di $G$. Possiamo scrivere $x=aa^{-1}x$, cioè $x=L_{a}(a^{-1}x)$.
$-$
proviamo ora che $\mathcal{L}$ è un sottogruppo di $S(G)$:
  • $id_{G}=L_{1}\in \mathcal{L}$;
  • la composizione è interna ad $\mathcal{L}$, in quanto

    \begin{displaymath}L_{a}\circ L_{b}(x)=a(bx)=(ab)x=L_{ab}(x),\;\forall a,b,x\in G;\end{displaymath}

  • $\forall L_{a}\in \mathcal{L}$, $L_{a}^{-1}=L_{a^{-1}}\in\mathcal{L};$ infatti $L_{a^{-1}}\circ L_{a}(x)=a^{-1}ax=x$ e $L_{a}\circ L_{a^{-1}}(x)=aa^{-1}x=x$, $\forall x \in G$.
In modo analogo si prova che $\mathcal{R}$ è un gruppo di trasformazioni.

Teorema 3 (di Cayley)   Ogni gruppo è isomorfo a un gruppo di trasformazioni.

Dimostrazione
Sia $G$ un gruppo. Proviamo che $G\simeq \mathcal{L}$, dove $\mathcal{L}$ è il gruppo delle traslazioni a sinistra di $G$. Consideriamo l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \psi:& G & \longrightarrow & \mathcal{L}\\ & a & \longmapsto & L_{a}.\end{array}\end{displaymath}

La $\psi$ è un omomorfismo in quanto $\psi(ab)=L_{ab}=L_{a}\circ L_{b}=\psi(a)\circ \psi(b)$ , $\forall a,b \in G$, è ovviamente suriettiva, ed è iniettiva essendo

\begin{displaymath}\ker \psi =\{a\mid L_{a}=id_{G}\}=\{a\mid \;ax=x, \, \forall x\in G\}=\{1\}.\end{displaymath}

Corollario 4   Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$; allora $G$ è isomorfo a un sottogruppo di $S_{n}$, il gruppo simmetrico su $n$ lettere.

Dimostrazione
Segue dal teorema 3, osservando che $\mathcal{L}$ è un sottogruppo di $S_{n}$.

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