osservazione

15 OSSERVAZIONE I sottospazi affini non banali (diversi cioè dai punti e da $\mathbf{A^3}$ stesso) di $\mathbf{A^3}$ sono i piani e le rette.
Sia

un piano di $\mathbf{A^3}$ di equazione

$(A,B,C)\neq (0,0,0)$
Allora la chiusura proiettiva

in $\mathbf{P^3}$ è il piano di equazione

I punti impropri di

rispetto a

sono i punti della retta $H_0 \cap p,$ ovvero i punti

tali che

è soluzione non banale dell'equazione

cioè tali che

è un vettore non nullo di $\mathsf{giac}(p').$ Quindi l'insieme dei punti impropri rispetto a

coincide con la retta $\mathbf{P(W)},$ dove $\mathbf{W}=\mathsf{giac}(p').$
Consideriamo ora una retta $r' \subset \mathbf{A^3}$ di equazioni cartesiane

$\left\{ \begin{array}{l} AX+BY+CZ+D=0 \\ A_1X+B_1Y+C_1Z+D_1=0 \end{array} \right.,$ con $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccc} A & B & C \\ A_1 & B_1 & C_1 \end{array} \right)=2.$

La chiusura proiettiva di è la retta $r \subset \mathbf{P^3}$ di equazioni cartesiane

$\left\{ \begin{array}{l} DX_0+AX_1+BX_2+CX_3=0 \\ D_1X_0+A_1X_1+B_1X_2+C_1X_3=0 \end{array} \right.,$ dove $\mathrm{r} \left( \begin{array}{cccc} A & B & C & D\\ A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \end{array} \right)=2.$

La retta consiste dei punti propri di e del punto improprio dove è un vettore di direzione di e soddisfa il sistema $\left\{ \begin{array}{l} AX_1+BX_2+CX_3=0 \\ A_1X_1+B_1X_2+C_1X_3=0 \end{array} \right.$ che descrive precisamente $\mathsf{giac}r').$

16 OSSERVAZIONE Sia $\tilde{j}_0:\mathbf{A^3} \longrightarrow \mathbf{P^3}$ un completamento proiettivo dello spazio affine $\mathbf{A^3}.$ Allora ogni retta $r \subset \mathbf{P^3}$ non contenuta in

è la chiusura proiettiva di una retta $r' \subset \mathbf{A^3}.$ I piani contenenti

sono tutte e sole le chiusure proiettive dei piani di $\mathbf{A^3}$ del fascio di asse