Soluzione
Il sottospazio proiettivo $r \cap s$ è il luogo dei punti le cui coordinate omogenee sono soluzioni del sistema $\left\{ \begin{array}{l} x_0-x_1+x_2=0 \\ x_1-2x_2+x_3=0 \\ x_0+x_2-3x_3=0 \\ x_0-2x_1-2x_2=0 \end{array} \right.$e ha dimensione (per la proposizione 5) pari a $3-\mathrm{r} (\mathsf{A}),$ dove $\mathsf{A} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & -2 & 0 \end{array} \right) .$Calcoliamo ora quanto vale il rango di $\mathsf{A}:$ $\mathrm{r} (\mathsf{A}) = \mathrm{r} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 0... ... 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -9 \end{array} \right) =4 .$
Quindi $\dim (r \cap s) =3-4=-1,$ cioè $r \cap s= \emptyset.$ Pertanto $r$ ed $s$ sono sghembe.
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