Soluzione
Una rappresentazione parametrica omogenea della retta $r$ è $\left\{ \begin{array}{l} x_0=\lambda +2\mu \\ x_1=-\mu \\ x_2=\lambda +2\mu \\ x_3=-\mu \\ x_4=\lambda +2\mu \end{array} \right.\; \;$con $(\lambda,\mu) \in \mathbf{R^2 \backslash \{0\}}.$
Un'equazione cartesiana per $H$ è data (vedi esempio 14) da $\left\vert \begin{array}{ccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 &... ... 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right\vert =0,$ cioè $- \left\vert \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right\vert =0,$ ovvero $x_4 \left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{a... ...y}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{array} \right\vert=0,$cioè $x_4(-4-2(-4)+3\cdot 2)-4(x_1(-4)-x_2(-4)+x_3\cdot 2)-(x_1-x_2(-4)+x_3(-3))=0,$ ossia $15x_1-20x_2-5x_3+10x_4=0,$ cioè $3x_1-4x_2-x_3+2x_4=0$ $($equazione cartesiana di $H).$
Quindi $r \cap H =\{ [\lambda +2\mu,-\mu,\lambda +2\mu,-\mu,\lambda +2\mu]:-3\mu-4(\la... ...+\mu+2(\lambda +2\mu)=0,\; (\lambda,\mu) \in \mathbf{R^2 \backslash \{0\}} \},$ cioè $r \cap H =\{ [\lambda +2\mu,-\mu,\lambda +2\mu,-\mu,\lambda +2\mu]:\lambda=-3\mu,\; (\lambda,\mu) \in \mathbf{R^2 \backslash \{0\}} \}.$
Il punto di intersezione della retta e dell'iperpiano ha pertanto coordinate proiettive omogenee $x_0 =x_1=x_2 =x_3 =x_4 =\rho$ con $\rho \in \mathbf{R^{\ast}},$ è cioè il punto $[1,1,1,1,1].$