9. ESERCIZIO      Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$, sia $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ e sia $d \in \mathbf{N}\;,\;0 \leq d \leq n$.
È stato fatto notare che la relazione ''essere paralleli'', denotata con il simbolo $\parallel$, nell'insieme $\mathcal{H}_d$ dei sottospazi affini di dimensione $d$ di $\mathcal{A}$ è una relazione di equivalenza. Potremo cosí considerare l'insieme quoziente $\mathcal{H}_d/\parallel$ (ogni cui elemento è una famiglia massimale di sottospazi affini $d$-dimensionali di $\mathcal{A}$ paralleli tra loro).
Dimostrare che tutte queste famiglie hanno la stessa cardinalità $\mid \mathbf{K} \mid^{n-d}$ ove $\mid \mathbf{K} \mid$ è la cardinalità di $\mathbf{K}$ (in generale se $\mathrm{A}$ è un insieme arbitrario indichiamo con il simbolo $\mid \mathrm{A}\mid $ la sua cardinalità).
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