9.   Sia $\Xi \in \mathcal{H}_d/\parallel$, si tratta come detto di un sottoinsieme di $\mathcal{H}_d$ costituito da sottospazi affini paralleli e sia dunque $\mathbf{U} \subseteq \mathbf{V}$ la comune giacitura.
Possiamo certamente trovare $ \mathbf{W}\subseteq \mathbf{V}$ sottospazio vettoriale tale che $\mathbf{U} \oplus \mathbf{W}=\mathbf{V}$ da cui $\mathsf{dim}\mathbf{W}=n-d$.

Ora dato un qualsiasi punto $P \in \mathcal{A}$ consideriamo il sottospazio affine $\mathcal{T}=\mathsf{S}(P,\mathbf{W})$.
In virtú di esercizio 16.2 sella sezione "Sottospazi affini" abbiamo che $\mathcal{T}$ e ogni elemento di $\Xi$ si intersecano in un solo punto per cui è ben definita l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
\zeta: & \Xi & \longrightarrow & \mathcal...
...mathcal{S} & \mapsto & \mathcal{S}\cap \mathcal{T}
\end{array} \end{displaymath}

Inoltre $\zeta$ è ben definita per quanto detto, è iniettiva perché sottospazi affini paralleli distinti sono disgiunti ed è suriettiva perché, se $L \in \mathcal{T}$, allora $\mathsf{S}(L,\mathbf{U})\in \Xi$ e $\zeta(\mathsf{S}(L,\mathbf{U}))=L$.
In definitiva abbiamo istituito una corrispondenza biunivoca tra $\Xi$ e $\mathcal{T}$ per cui $\mid \Xi\mid=\mid\mathcal{T}\mid=\mid\mathbf{W}\mid$ ove ci siamo serviti dell'osservazione 8 della sezione "Sottospazi affini" per stabilire l'esistenza di una biezione tra $\mathcal{T}$ e $\mathbf{W}$.
Infine, essendo $\mathbf{W}$ isomorfo a $\mathbf{K}^{n-d}$ segue in particolare che $\mid\mathbf{W}\mid=\mid\mathbf{K}^{n-d}\mid=\mid\mathbf{K}\mid^{n-d}$ avendo usato per l'ultima uguaglianza il già citato teorema di teoria degli insiemi.

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