9.
Sia
,
si tratta come detto di un sottoinsieme di
costituito da sottospazi affini paralleli e sia dunque
la comune giacitura.
Possiamo certamente trovare
sottospazio vettoriale tale che
da cui
.
Ora dato un qualsiasi punto
consideriamo il sottospazio affine
.
In virtú di esercizio 16.2 sella sezione "Sottospazi affini" abbiamo che
e ogni elemento di
si intersecano in un solo punto per cui è ben definita l'applicazione
Inoltre
è ben definita per quanto detto, è iniettiva perché sottospazi affini paralleli distinti sono disgiunti ed è suriettiva perché, se
,
allora
e
.
In definitiva abbiamo istituito una corrispondenza biunivoca tra
e
per cui
ove ci siamo serviti dell'osservazione 8 della sezione "Sottospazi affini"
per stabilire l'esistenza di una biezione tra e .
Infine, essendo
isomorfo a
segue in particolare che
avendo usato per l'ultima uguaglianza il già citato teorema di teoria degli insiemi.