Prova Scritta - Algebra e Geometria

17-12-2001 - A.A. 2001-2002 - Prof. A. Gimigliano

Esercizio 2:

Siano r, s due rette in R³:

r:		x = (a + 1)t + 1	s:		x = 2s + 1
		y = (b+ 1)t + 1			y = s + k
		z = (a + b)t			z = 2s + 2

1) Determinare, al variare di k, se r ed s siano parallele, sghembe o incidenti.

2) Trovare (se esiste) un piano π passante per l'origine e parallelo sia ad r che ad s.

Assegnare ad a, b il valore delle ultime cifre del proprio numero di matricola (ad esempio, se il numero è 1224567, allora a = 6, b = 7)

1)I vettori che danno le direzioni di r e s sono:

v_r = ((a + 1), (b + 1), (a + b)) e v_s = (2, 1, 2)

Per vedere se tali vettori siano paralleli calcoliamo il prodotto vettoriale tra i vettori v_r e v_s  e
vediamo se è uguale a 0:

vr vs =	det						= 0	2(b+1)+ (a+1)+2(a+b)-2(b+1)-2(a+1)-(a+b)=0
			a + 1	b + 1	a + b
			2	1	2

v_r v_s = (b + 2 - a, 2b - 2, a - 2b - 1)  che risulta ≠ (0, 0, 0),  tranne il caso in cui  a=3, b=1; quindi  le
due rette non sono mai parallele tranne nel caso che si abbia  a=3, b=1.

Sia ora (a,b)≠ (3,1); per vedere se r e s siano sghembe o incidenti facciamo il sistema:

r:		x = (a + 1)t + 1 = 2s + 1
		y = (b+ 1)t + 1 = s + k
		z = (a + b)t = 2s + 2

Abbiamo tre equazioni e due incognite (s e t); la matrice dei coefficienti è:

		a + 1	-2				a + 1	-2	0
A =		b + 1	-1		(A/B) =		b + 1	-1	k - 1
		a + b	-2				a + b	-2	2

Il rg(A) è sempre uguale a 2 (perchè le rette non sono parallelle) per cui, se rg(A/B) ≠ 2 il sistema non avrà
soluzioni e r e s saranno sghembe, altrimenti rg(A/B) = 2, il sistema ha una soluzione e le rette sono incidenti.

Si ha che det(A/B) = (1-k)(-2(a+1)+2(a+b))+2(-a-1+2b+2) = k(a-2b+2)+2b-4a, quindi:

Se  a-2b+2 ≠ 0, per  k = (4a-2b)/(a-2b+2) il rango è uguale a 2, altrimenti è 3.

Se  a-2b+2 = 0, cioè per  a=2b-2,  si ha  det(A/B) = 2b-4a = -6b+8 ≠ 0  (essendo b intero),
quindi il rango è 3.

2) Se un piano π è parallelo sia ad s che ad r, un vettore a lui perpendicolare (che darà i coefficenti
(A, B, C) della sua equazione) si può ottenere da v_r v_s , che abbiamo calcolato sopra, ed il fatto
che passi per l'origine ci dice che D = 0.

Quindi il piano π ha equazione:

(b + 2 - a)x + (2b - 2)y + (a - 2b - 1)z = 0

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